أولاً: بالتعويض         ثانياً: بإزالة الجذور        ثالثاً: بالتحويل للكسور الجزئية        رابعاً: بالتجزيء        خامساً: بالاختزال المتتالي          سادساً: تحويل دالة جبرية كسرية غير قياسية لدالة جبرية قياسية   

أمثلة عامة بالإنجليزية والعربية

  (1)    (2)    (3)    (4)    (5)    (6)    (7)    (8)    (9)    (10)    (11)

          التكامل بالتعويض حالة نجد فيه الدالة المطلوب تكاملها ليست من الدوال الممكن تكاملها بالمتغير الموجود فيها مما يقودنا لتغير هذا المتغير بمتغير آخر يوصلنا لأحد صور التكامل المعروفة ، استبدال متغير بآخر يعني استبدال كامل لكل أوضاع المتغير وهو في الغالب يتضمن حدا التكامل أ ، ب ، الدالة المعطاة د(س) ، د س للحصول على نتائجها بالنسبة للمتغير الجديد وليس بالضرورة وجود حدا التكامل (التكامل غير المحدد)، وبالضرورة يجب اختيار متغير مناسب بحيث الحصول على صورة قياسية يسهل تكاملها أي : ∫ د(س) د س = ∫ د(ى) دى  باستبدال المتغير س بالمتغير ى وقد تكون هناك صعوبة في إيجاد المتغير ى والذي يختلف من دالة لأخرى ولكن بقليل من التدريب يصبح الأمر سهلاً ومألوفاً مع ضرورة معرفة ما ورد ذكره سابقاً من التكاملات.

سبق أن ذكرنا النتيجة الآتية :

                                             ق[د(س])^ن+1

(1)∫ ق[د(س)]^ن د^/(س) د س =  ــــــــــــــــــــــــ  + ث  ، ن ≠ –1  أي جعل الدالة قسمان أحداهما مشتقة أساس الآخر

                                               ن + 1

     وكذلك نعلم أن تكامل دالة كسرية بسطها هو مشتقة مقامها هو اللوغاريتم النابيري للمقام مضافاً إليه ثابت التكامل أي أن :

         د^/(س)

(2)∫ ــــــــــــ د س = لـو_هـ[د(س)] + ث

         د(س)

    من (1) وباعتبار الجذر لدالة ما هي الدالة مرفوعة لأس كسري أي نعود إلى (1) أعلاه وللجذر التربيعي صورة مبسطة حال وجوده في مقام كسر

مضروب في 2 وبسط الكسر مشتقة ما بداخل الجذر فناتج تكامل الكسر هو الجذر التربيعي في المقام أي :

          د^/ (س)                 ـــــــــــ

(3)∫ ــــــــــــــــــ  د س = /\ د(س) + ث

            ^{ــــــــــــ}

       2/\ د(س)

                                 س – 2

مثال(1) أوجد : ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  د س

                           ^{ــــــــــــــــــــــــــــــــــ}

                        /\2س² – 8 س + 5

الحل : مشتقة ما بداخل الجذر = 4 س – 8 = 4( س – 2) أي 4 البسط وهذا يعني ضرب حدا الكسر × 4 لتطبيق رقم (3) السابق

                س – 2                                   4س – 8                             1    ^{ــــــــــــــــــــــــــــــــــ}

     ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  د س = ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  د س  = ^ــــ /\2س² – 8 س + 5   + ث

           ^{ــــــــــــــــــــــــــــــــــ                                  ــــــــــــــــــــــــــــــــــ}                   2

        /\2س² – 8 س + 5                2×2 /\2س² – 8 س + 5        

حل آخر: بوضع ما بداخل الجذر يساوي ع² بقصد التخلص من الجذر التربيعي فيكون المقام ع أي:

  ع²= 2س²– 8 س + 5     بالاشتقاق

2ع دع = (4 س – 8) د س = 4( س – 2) د س  وبالقسمة على 2 يكون:  ع دع = 2(س –2) د س وبضرب حدا الكسر × 2 والتعويض

                                                                                                                                                ـــــــــــــــــــــــــــــــــ

                س – 2                                  2(س – 2) د س              ع دع        _{1          1              1}

     ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  د س = ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  = ــــــــــــ= ∫ ــــ دع  = ـــ ع + ث = ـــ /\2س² – 8 س + 5 + ث

           ^{ـــــــــــــــــــــــــــــــــ                                ــــــــــــــــــــــــــــــــــ}             

        /\2س² – 8 س + 5                  2 /\2س² – 8 س + 5           ^{2ع         2          2              2}

تنبيه: يمكن وضع ع للقيمة تحت الجذر بدل من ع² كما سبق

الأمثلة الآتية تعتبر قواعد يمكن استخدامها مباشرة

مثال(2) أحسب ∫ طاس د س

                         حا س

 ∫ طاس د س =  ∫ ـــــــــــ د س   لكن مشتقة المقام(حتا س) = – حا س ولذا نقول:

                        حتا س

                           – حا س

 ∫ طاس د س = – ∫ ــــــــــــــــ د س   البسط مشتقة للمقام فالناتج لوغاريتم المقام

                            حتا س

 ∫ طاس د س = – لـو_هـحتا س +  ث =  لـو_هـحتا^–1س +  ث =  لـو_هـقا س +  ث

    ويمكن تعميم ذلك كما ورد سابقاً

                                     1

 ∫ طا( ب س + حـ ) د س = ـــــ لـو_هـقا(ب س +حـ) +  ث

                                     ب

مثال(3) أحسب ∫ طتاس د س

                          حتا س

 ∫ طتاس د س =  ∫ ــــــــــــ  د س   لكن مشتقة المقام(حا س) = حتا س ولذا نقول:

                          حا س

 ∫ طتاس د س = لـو_هـحا س +  ث =  لـو_هـحا س +  ث

    ويمكن تعميم ذلك كما ورد سابقاً

                                      1

 ∫ طتا( ب س + حـ ) د س = ـــــ لـو_هـ حا(ب س +حـ) +  ث

                                      ب

مثال(4) أحسب ∫ قتاس د س

قتا س  مقلوب حا س                                                    

                        1            1

لكن حا س = 2 حاــــ س حتا ـــــ س

                        2            2

                    1            ² 1                  1                                 1  

             2 حاــــ س حتا ـــــ س       2طا ــ س                         قا²ـــ س

                   2            2                  2                                 2

 حا س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــ   أي أن قتا س= ـــــــــــــــــــ   واضح أن المقام مشتقته هي البسط

                          1                       1                                    1

                    حتا ــــ س               قا²ـــ س                         2طا ـــ س

                         2                        2                                    2

                                   1                                             1                               1

∫ قتا س د س = لـو_هـ (2طا ـــ س + ث ) = لـو_هـ (2) + لـو_هـ (طا ـــ س ) + ث = لـو_هـ ( طا ـــ س + ث )

                                   2                                             2                               2

أو

                          قتا س( قتا س – طتا س)         قتا²س – قتا س طتا س  

∫ قتا س د س = ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = لـو_هـ( قتا س – طتا س ) + ث

                               (قتا س – طتا س)                 قتا س – طتا س

لاحظ أنها نفس النتيجة السابقة بتحويل قتاس، طتاس إلى حاس، حتاس واستخدام قانون ضعف الزاوية لكل من حاس ، حتاس

مثال(5) أحسب ∫ قاس د س

                           ط                              1   ط                                 ط     س

∫ قاس د س= ∫ قتا( ــــ + س) د س = لـو_هـطا ـــ( ــــ + س ) + ث = لـو_هـطا( ــــ + ـــــ ) + ث ← (1) ويكون:

                          2                              2   2                                 4     2

                                  1               ط      1 

∫ قا( ب س + حـ ) د س= ـــــ لـو_هـطا[( ــــ + ـــــ ( ب س + حـ )] + ث    ← (1أ)

                                  ب              4      2 

أو

                           ط                                  ط                     ط    

∫ قاس د س= ∫ قتا( ــــ + س) د س = لـو_هـ[قتا( ــــ + س ) – طتا( ــــ + س )]+ ث = لـو_هـ( قا س + طا س ) ← (2) ويكون:

                          2                                  2                     2

                                  1                           

∫ قا( ب س + حـ ) د س= ـــــ لـو_هـ[ قا ( ب س + حـ ) + طا ( ب س + حـ )] ← (2أ)

                                  ب                      

لاحظ أنها نفس النتيجة السابقة بتحويل قاس، طاس إلى حاس، حتاس واستخدام قانون ضعف الزاوية لكل من حاس ، حتاس

الجدول الآتي يبين ملخص تكاملات لنسب مثلثية

تمرين(1) أوجد ∫ س² قا س³ د س       ضع س³ = ع  واشتق ثم عوض

تمرين(2) أوجد ∫ ( 1 – 2 طتا2س )² د س    فك القوس وطبق قوانين المثلثات

                         هـ^س

تمرين(3) أوجد ∫ ـــــــــــــــ د س        ضع هـ^س = ع واشتقها ثم عوض

                        طتاهـ^س