Example5: Find ∫e^x sinx dx

نستخدم التكامل بالتجزيء

u = e^x     , dv = sinx dx  Then

du = e^x dx   , v = – cosx

òu dv = u v –òv du

òe^x sinx dx = e^x ( – cosx)  – ò– cosx (e^x) dx    OR    òe^x sinx dx =  òe^x d/dx (– cosx) dx Then .... (1)

òe^x sinx dx =– e^x cosx + òe^x cosx dx ..... (1)

Repeat it with New Integration òe^x cosx dx

u = e^x     , dv = cosx dx  Then

du = e^x dx   , v =  sinx

òu dv = u v – òv du

òe^x cosx dx = e^x (sinx)  – òsinx (e^x) dx              OR     òe^x cosx dx = òe^x d/dx ( sinx) dx Then .... (2)

òe^x cosx dx = e^x sinx – òe^x sinx dx  ..... (2)

From (2) in (1)

òe^x sinx dx =– e^x cosx + e^x sinx – òe^x sinx dx

Shift from Left side to Right side

2òe^x sinx dx =– e^x cosx + e^x sinx   ( / 2) 

                       e^x( sinx – cosx )

òe^x sinx dx = ——————— + c

                                2