طريقة التكامل بالتجزئ
تعتبر هذه الطريقة هامة حيث يمكن إيجاد تكاملات حاصل الضرب للدوال التي تحوي لـوس أو هـس أو إحدى الدوال المثلثية أو المثلثية العكسية حيث يتم تحوي التكامل المطلوب إلى صورة أبسط يمكن تكاملها، وسنوضح الطريقة كالآتي:
بفرض ف ، ق دوال للمتغير س فإن بالاشتقاق لحاصل الضرب ف × ق نجد أنَّ:
( ف × ق )¯ = ف × ق¯ + ق × ف¯ ( الأول × مشتقة الثاني + الثاني × مشتقة الأول )
بإجراء التكامل يكون:
ف × ق = ∫[ ف × ق¯ + ق × ف¯ ] د س
= ∫ ف × ق¯ د س + ∫ ق × ف¯ د س
= ∫ ف د ق + ∫ ق د ف
∫ ف د ق = ف × ق – ∫ ق د ف يتوقف سهولة التكامل على تقسيم الدالة المطلوب تكاملها.
مثال1: أوجد ∫ س حتاس د س
الحل: نقسم المطلوب لدالتين ف ، ق
نضع ف = س ومنها د ف = د س ، د ق= حتاس ومنها ق= ∫ حتاس د س= حاس
∫ س حتاس د س = ∫ ف د ق
= ف × ق – ∫ ق د ف
= س × حاس – ∫ حاس د س
= س جاس – ( – حتاس ) + ث
= س حاس + حتاس + ث
تنويه: إذا فرضنا العكس ف = حتاس ، د ق = س سنحصل على تكامل أصعب من المطلوب ولذا يجب الاهتمام بالتقسيم
تنويه: 1) ∫ (هـ)ب س حتا(حـ س) د س تفصيل النتيجة قانون 2) ∫ (هـ)ب س حا(حـ س) د س تفصيل النتيجة قانون
مثال2: أوجد ∫ س لـوهـ(س) د س
1
الحل: بفرض أن ف = لـوهـ(س) ومنها د ف = ــــــ د س
س
1
وأن د ق = س د س وبإجراء التكامل يكون: ق = ـــ س2 وعليه يكون:
2
∫ س لـوهـ(س) د س = ∫ ف د ق
= ف × ق – ∫ ق د ف
1 1 1
= لـوهـ(س) × ـــ س2 – ∫ ـــ س2 × ــــــ د س
2 2 س
1 1 س2
= ـــ س2 لـوهـ(س) – ـــ × ــــــــ + ث
2 2 2
1 1
= ـــ س2 لـوهـ(س) – ـــ س2 + ث
2 4
مثال3: أوجد ∫ 4س هـس د س
الحل: بفرض ف = 4س ومنها د ف = 4 ، د ق = هـس د س ومنها بالتكامل ق = هـس وعليه يكون:
∫4س هـس د س = ∫ ف د ق
= ف × ق – ∫ ق د ف
= 4س هـس – ∫هـس × 4 د س
= 4س هـس – 4هـس + ث
مثال4: أوجد ∫ حتا–1س د س
–1
الحل: بفرض ف = حتا–1س ومنها بالاشتقاق يكون د ف = ــــــــــــــــــــــــــ ، د ق = د س ومنها بالتكامل يكون ق = س
ـــــــــــــــــــــ
/\ 1 – س2
∫ حتا–1س د س = ∫ ف د ق
= ف × ق – ∫ ق د ف
–1
= حتا–1س × س – ∫ س × ــــــــــــــــــــــــــــ د س بضرب البسط والمقام ×2 ليصبح البسط مشتقة داخل الجذر
ـــــــــــــــــــــ
/\ 1 – س2
– 2 س
= حتا–1س × س – ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــ د س
ـــــــــــــــــــــ
2/\ 1 – س2
ــــــــــــــــ
= س حتا–1س – /\1 – س2 + ث
تمارين :
(1) أوجد ∫ قا3س د س ( ضع ف = قاس ، د ق = قا2س د س )
(2) أوجد ∫ هـ3س حا2س د س ( ضع ف = حا2س ، د ق = هـ3س د س وستكرر ذلك مع ∫ هـ3س حتا2س د س )
(3) أوجد ∫ س × 5س د س
(4) أوجد ∫ س حاس د س