1
أوجد ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــ د س
ــــــــــــــــــ
س3 /\ س2 + 4
بوضع س = 2 طا ص فإن د س = 2 قا2ص د ص ، س2 + 4 = 4 طا2ص + 4 = 4 ( طا2ص + 1) 4= قا2ص
ــــــــــــــــــ
فيكون المقام = س3 /\ س4 + 4 = 8 طا3ص ( 2 قا ص) = 16 طا3ص قا ص
1 1 قاص
∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــ د س = ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــ . 2 قا2ص د ص = ∫ ـــــــــــــــــــــ . د ص
ــــــــــــــــــ
س3 /\ س2 + 4 16 طا3ص قا ص 8 طا3ص
حتا3ص
= ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ . د ص
8 حا3ص حتا ص
حتا2ص
= ∫ ـــــــــــــــــــــــ د ص
8 حا3ص
1 1– حا2ص
= ــــ ∫ ـــــــــــــــــــــــ د ص 1/ حا ص = قتا ص
8 حا3ص
1
= ــــ ∫ ( قتا3ص – قتا ص ) د ص .............. (1)
8
1
نوجد قيمة تكامل قتا3ص علماً بأن تكامل قتا ص = لو( قتا ص – طتا ص ) + ث أو يساوي لو طا ـــ ص + ث
2
∫ قتا3ص د ص = ∫ قتا ص قتا2ص د ص بالتجزيء: ف = قتا ص ، د ف = – قتا ص طتا ص د ص ، د ق = قتا2ص، ق = – طتا ص
= ف × ق – ∫ ق د ف
= – قتا ص طتا ص – ∫ – طتا ص × – قتا ص طتا ص د ص
= – قتا ص طتا ص – ∫ طتا2ص قتا ص د ص
= – قتا ص طتا ص – ∫ ( قتا2ص – 1) قتا ص د ص
= – قتا ص طتا ص – ∫ قتا3ص د ص + ∫ قتا ص د ص
2∫ قتا3ص د ص = – قتا ص طتا ص + ∫ قتا ص د ص
2∫ قتا3ص د ص = – قتا ص طتا ص + لو( قتا ص – طتا ص ) + ث
بالتعويض في ... (1) مع ملاحظة الضرب × 2
1 1
= ـــــ∫(2 قتا3ص – 2 قتا ص ) د ص = ـــــ [∫ (2 قتا3ص د ص –2∫ قتا ص د ص ]
16 16
1
= ـــــــ (– قتا ص طتا ص + لو( قتا ص – طتا ص ) – 2لو( قتا ص – طتا ص ) + ث
16
1
=
ـــــــ [– قتا ص طتا ص
–
لو( قتا ص –
طتا ص )] +
ث
16
س
بالتعويض عن ص حيث طا ص = ــــــ حيث تكون زاوية لمثلث قائم مقابلها س ومجاورها 2 والوتر جذر( س2+ 4)
2
ـــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــ
1 1 /\ س2 + 4 2 /\ س2 + 4 2
∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــ د س = ــــــــ [– ــــــــــــــــــــــــ × ــــــــــــ – لو( ـــــــــــــــــــــــ – ـــــــــ ) ] + ث
ــــــــــــــــــ
س3 /\ س2 + 4 16 س س س س
ـــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــ
–1 2/\ س2 + 4 /\ س2 + 4 – 2
= ــــــــ [ ــــــــــــــــــــــــــ + لو( ــــــــــــــــــــــــــــــــ ) ] + ث
16 س2 س