الدالة أو التطبيق

هي علاقة تقرن كل عنصر ينتمي إلى مجالها بعنصر واحد وواحد فقط في مجالها المقابل، وفي حالة المجال والمجال المقابل Ê ح تعرف بالدالة الحقيقية كالدالة د(س) = 2 س + 5

دالة مثل د(س) = أس + ب لها ثلاث أركان

                                                                                                      ــــــ

الأول قاعدة الاقتران كقولنا د(س) = 2س + 3 أو ق(س) = حا س أو د(س) = /\ س , ...

الثاني مجالها وهو مجموعة القيم التي يأخذها المتغير س كمجموعة الأعداد الطبيعية مثلاً ط أي الأعداد الصحيحة الموجبة وقد توضع شروط على هذا المتغير س لعدد من القيم كقولنا "حيث س عدد صحيح موجب أقل من 10" أي س < 10 وعليه يكون مجال الدالة هنا هو { س ' ط ، س<10} أو سرد المجموعة بذكر عناصرها أي {0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7 ، 8، 9} وهي مجموعة المجال أو المجال حسب الشرط المعطى.

مثلاً: د(س) = 2س + 3 فإذا عوضنا عن قيم س السابق ذكرها فيكون لدينا

    د(0) = 2 × 0 + 3 = 0 + 3 = 3

    د(1) = 2 × 1 + 3 = 2 + 3 = 5

      ...        ...        ...

    د(9) = 2 × 9 + 3 = 18 + 3 = 21   

الثالث مداها أي مدى الدالة وهو مجموعة نواتج التعويض عن قيم س السابق ذكرها أي {3، 5، 7، ...، 21} ومن الواضح بعدم ضرورة ذكر مجموعة المجال أو مدى الدالة بذكر العناصر وخاصة للمجموعات العامة (ط، ص، ح، ...) أو ذات العناصر الكثيرة.

• الغالب نذكر قاعدة الاقتران والمجال ولكن في كثير من الدوال نعرف مباشرة المجال ولكن يحتاج الأمر أحياناً لتحديد المجال أو طلبه والحال نفسه للمدى وفي الغالب يكون كلامنا عن مجموعة الأعداد الحقيقية وهي تضم كافة الأعداد الصحيحة والكسرية والجذرية وما إلى ذلك يستثنى منها الأعداد التخيلية لانتمائها لمجموعة الأعداد التخيلية أو الأعداد المركبة أو الأعداد العقدية.

• قاعدة اقتران الدالة تحدد المجال على وجه العموم ما لم يذكر خلاف ذلك.

• دوال كثيرة الحدود " د(س) = أس^ن + ب س^{ن− 1} + ... + ل " مجالها ح.

• الدوال الكسرية يستبعد من مجالها قيم س التي تجعل قيمة المقام = الصفر على أن يكون البسط كثير حدود أو بحث مجاله.                 ـــــــــــ

• الدوال الجذرية " /\ د(س) " مجالها قيم س التي تجعل د(س)≥0 وإن كانت في المقام تكون قيم س التي تجعل د(س)>0

• الدوال اللوغاريتمية لـود(س) معرفة لقيم س التي تجعل د(س)≥0

• دالة المقياس " |س| مجالها ح

• دالة البرواز " [س] مجالها ح

• أي أنَّ كل دالة لها أركانها الثلاثة الخاصة بها ويجب التعرف عليها بصورة جيدة بل يجب إعادة تعريف دوال المقياس |د(س)| قبل البدء في الحل.

مثال(1)        مثال(2)        مثال(3)        مثال(4)        مثال(5)