الجدول التالي لبيانات يبين درجات عينة عشوائية مكونة من 10 طلاب في المرحلة الثانوية لامتحانات تحديد المستوى في الرياضيات والفيزياء والمعدل التراكمي لهم في نهاية السنة الأولى في الجامعة والمطلوب التنبؤ بقيمة متغير المعدل التراكمي عند معرفة قيم المتغيرين الآخرين.

درجة الرياضيات X1

 55 80 94 63 78 84 70 70 73 85

  درجة الفيزيــاء X2

 60 90 85 55 71 90 85 65 80 78

المعـدل التراكمـي  Y

 2.45 3.25 3.55 2.18 2.24 2.95 2.53 2.48 2.82 2.75

الحـل:

    نفرض أن: Y متغير المعدل التراكمي   و  X1 متغير الدرجات في مادة الرياضيات و X2 متغير الدرجات في مادة الفيزياء    

    نكون جدول البيانات متضمن عناصر الصيغ الثلاثة لحساب a , b , c اللازمة للحصول على معادلة انحدار Y على X1 , X2

Y2 X22 X12 X2Y X1Y X1X2 X2 X1 Y
6.0025 3025 3600 134.75 147 3300 60 55 2.45
10.563 6400 8100 260 292.5 7200 90 80 3.25
12.603 8836 7225 333.7 301.75 7990 85 94 3.55
4.7524 3969 3025 137.34 119.9 3465 55 63 2.18
5.0176 6084 5041 174.72 159.04 5538 71 78 2.24
8.7025 7056 8100 247.8 265.5 7560 90 84 2.95
6.4009 4900 7225 177.1 215.05 5950 85 70 2.53
6.1504 4900 4225 173.6 161.2 4550 65 70 2.48
7.9524 5329 6400 205.86 225.6 5840 80 73 2.82
7.5625 7225 6084 233.75 214.5 6630 78 85 2.75
75.706 57724 59025 2078.62 2102.04 58023

752

759

27.2

 

ناتج حل المعادلات

 المعادلات بعد التعويض من الجدول أعلاه(الصف الأخير)

 المعادلات

 a = 0.342

  b = 0.017  

 c = 0.015

27.2 = 10a + 759b + 752c

2102.4= 759a + 59025b + 58023c

2078.62 = 752a + 58023b + 57724c

 ∑Y = na + b∑X1 + c ∑X2

 ∑X1Y = a∑X1 + b∑X12 + c ∑X1X2

 ∑X2Y = a∑X2 + b∑X1X2 + c ∑X22

معادلة الانحدار بين المتغير التابع Y والمتغيرين المستقلين X1 , X2 هي:    Ŷ = 0.342 + 0.017 X1 + 0.015 X2

طرق إيجاد قيم الثوابت                    توضيح حول المعادلة            مثال عن متغير ثالث