∫ (س)^ن حا(ب س) د س 

      بفرض ف = (س)^ن  ومنها  د ف = ن (س)^ن–1 د س

                                                  1

    ، د ق = حا(ب س)   ومنها  ق = – ــــ حتا(ب س)

                                                  ب

∫ (س)^ن حا(ب س) د س = ∫ ف . د ق

                                 = ف × ق – ∫ ق . د ف

                                                   1                          1

∫ (س)^ن حا(ب س) د س = (س)^ن × –  ـــــ حتا(ب س) – ∫ – ـــــ حتا(ب س) .  ن (س)^ن–1 د س

                                                    ب                         ب

                                         1                             ن

                      = –  ـــــ (س)^ن حتا(ب س) + ـــــ ∫(س)^ن–1 حتا(ب س) د س     ← (1)

                                         ب                            ب

     بإيجاد التكامل في الطرف الأيسر

      بفرض ف = (س)^ن–1   ومنها  د ف = (ن–1) (س)^ن–2 د س

                                                  1

    ، د ق = حتا(ب س)   ومنها  ق =  ـــــ حا(ب س)

                                                  ب

∫ (س)^ن–1 حا(ب س) د س = ∫ ف . د ق

                                   = ف × ق – ∫ ق . د ف

                                                       1                      1

                        = (س)^ن–1×  ـــــ حا(ب س) – ∫ ـــــ حا(ب س) . (ن–1)(س)^ن–2 د س

                                                       ب                      ب

                                         1                                ن–1

                        = ــــــ (س)^ن–1حا(ب س) +  ــــــــــ ∫(س)^ن–2 حا(ب س) د س     ← (1)

                                         ب                                 ب

من (2) في (1)

                                      1                               ن      1                                ن–1

∫ (س)^ن حا(ب س) د س = – ـــــ (س)^ن حتا(ب س) +  ــــــ [ــــــ (س)^ن–1حا(ب س) –  ـــــــــــ ∫(س)^ن–2 حا(ب س) د س]

                                      ب                              ب      ب                                  ب

                                       1                              ن                                ن(ن–1)

                                = – ـــــ (س)^ن حتا(ب س) + ــــــــ (س)^ن–1حا(ب س) – ــــــــــــــــــ ∫(س)^ن–2حا(ب س) د س   ... (2)

                                       ب                             ب²                                  ب²

مع عدم وجود ن في المقام وبتكرار العملية عدة مرات على القانون السابق (2) فيتوقف التكامل الأخير على:

1) بتكامل حا(ب س) إذا كانت ن زوجية  وهو تكامل قياسي معروف

2) بتكامل س حا(ب س) إذا كانت ن فردية وقد سبق ذكره في (1)                        مثال