أوجد: ∫ 8 س³ حا2س د س 

      بفرض ف =  س³  ومنها  د ف = 3س² د س

    ،  د ق = 8 حا2س    ومنها  ق = –4 حتا2س

∫ 8 س³ حا2س د س = ∫ ف . د ق

                              =  ف × ق – ∫ ق . د ق

∫ 8 س³ حا2س د س = س³ × –4حتا2س – ∫–4حتا2س × 3س² د س

                    = –4س³حتا2س +∫12س²حتا2س  د س     ← (1)

     بإيجاد التكامل في الطرف الأيسر

      بفرض ف = س²  ومنها  د ف = 2س د س

    ،  د ق = 12حتا2س     ومنها  ق = 6حا2س

∫12س²حتا2س  د س = ∫ ف . د ق

                              =  ف × ق – ∫ ق . د ف

                     = س²× 6حا2س – ∫6حا2س × 2س د س]

                    = 6س²حا2س –12∫ س حا2س د س   ← (2)

من (2) في (1)

∫ 8 س³ حا2س د س= –4س³حتا2س + 6س²حا2س – 12∫ س حا2س د س    ... (1)

بتطبيق القانون السابق على التكامل بالطرف الأيسر بوضع ن = 1 ، ب = 2

أو ف = س  منها د ف = د س

 د ق = 12حا2س منها ق = –6حتا2س   ، 12∫ س حا2س د س =  ف × ق – ∫ ق . د ف     أي:                      

12∫ س حا2س د س = –6س حتا2س – ∫ –6حتا2س د س

                             = –6س حتا2س + 3حا2س + ث    ... (2)    

بالتعويض من (2) في (1)

∫ 8 س³ حا2س د س= –4س³حتا2س + 6س²حا2س + 6س حتا2س –3حا2س + ث

                            = 3(2س²– 1) حا2س + 2س(3 – 2س²) حتا2س + ث