أوجد: ∫ 8 س3 حتا2س د س
بفرض ف = س3 ومنها د ف = 3س2 د س
1
، د ق = حتا2س ومنها ق = ــــ حا2س
ب
∫ 8 س3 حتا2س د س = 8∫ ف . د ق
= 8[ ف × ق – ∫ ق . د ق]
1 1
∫ 8 س3 حتا2س د س = 8 [ س3 × ـــــ حا2س – ∫ ـــــ حا2س × 3س2 د س ]
2 2
= 4س3حا2س – 12∫ س2حا2س د س ← (1)
بإيجاد التكامل في الطرف الأيسر
بفرض ف = س2 ومنها د ف = 2س د س
1
، د ق = حا2س ومنها ق = – ــــ حتا2س
2
12∫ س2حا2س د س = 12∫ ف . د ق
= 12[ ف × ق – ∫ ق . د ف]
1 –1
= 12[س2× – ـــــ حتا2س – ∫ ـــــ حتا2س × 2س د س]
2 2
= – 6 س2حتا2س + 12∫ س حتا2س د س
من (2) في (1)
∫ 8 س3 حتا2س د س= 4س3حا2س + 6س2حتا2س – 12∫ س حتا2س د س ... (1)
بتطبيق القانون السابق على التكامل بالطرف الأيسر بوضع ن = 1 ، ب = 2
1 1
∫ س حتا2س د س = ـــــ س حا2س – ــــــ ∫ حا2س د س
2 2
1 1 –1
∫ س حتا2س د س = ـــــ س حا2س – ــــــ × ــــــ حتا2س + ث ... (2) بالضرب في –12
2 2 2
–12∫ س حتا2س د س = –6س حا2س –3حتا2س + ث
بالتعويض من (2) في (1)
∫ 8 س3 حتا2س د س= 4س3حا2س + 6س2حتا2س –6س حا2س –3حتا2س + ث
∫ 8 س3 حتا2س د س= 2س( 2س2– 3) حا2س + 3(2س2– 1) حتا2س + ث