(1) الجذر التربيعي للعدد المركب ع = حـ + د ت (2) الجذر التربيعي للعدد المركب ع = ( ل ، هـ )
بفرض س + ص ت الجذر التربيعي للعدد ع فيكون:
(س + ص ت)2 = حـ + د ت بفك القوس في الطرف الأيمن مع العلم بأن ت2 = –1
س2 – ص2 + 2 س ص ت = حـ + د ت بمساواة الجزء الحقيقي بالحقيقي والجزء التخلي بالتخيلي
س2 – ص2 = حـ .......... (1)
2 س ص = د .......... (2) بتربيع المعادلتين (1) ، (2)
س4 – 2 س2ص2 + ص4 = حـ2 .......... (3)
4 س2ص2 = د2 .................. (4) بجمع (3) ، (4)
س4 +2 س2ص2 + ص4 = حـ2 + د2
( س2 + ص2 )2 = حـ2 + د2
ــــــــــــــــــ
س2 + ص2 = /\حـ2 + د2 .................. (5)
من (1) ، (5) بالجمع نحصل على س وبالطرح نحصل على ص كما يلي:
ــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــ
2س2 = حـ + /\حـ2 + د2 ، 2ص2 = – حـ + /\حـ2 + د2
ــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــ
حـ + /\حـ2 + د2 – حـ + /\حـ2 + د2
س2 = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ ، ص2 = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
2 2
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــ
حـ + /\حـ2 + د2 – حـ + /\حـ2 + د2
س = /\ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ك ، ص = /\ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ل
2 2
إذن: الجذر التربيعي للعدد ع = حـ + د ت هو ك + ل ت مع ملاحظة وجود أربعة إجابات لقيم س ، ص وهي س ، ص موجبتان أو سالبتان أو أحدهما سالبة والثانية موجبة.
مثال: أوجد الجذر التربيعي للعدد المركب 5 + 12ت تمــاريــــــــــــــــــــــن
ـــــــــــــــــــــ
الحل: بفرض س + ص ت = /\ 5 + 12ت بالتربيع نحصل على
س2 – ص2 + 2 س ص ت = 5 + 12 ت بمساواة الجزء الحقيقي بالحقيقي والجزء التخلي بالتخيلي
س2
– ص2 = 5 .......... (1)
2 س ص = 12 .......... (2) بتربيع المعادلتين (1) ، (2)
س4 – 2 س2ص2 + ص4 = 25 .......... (3)
4 س2ص2 = 144 .............. (4) بجمع (3) ، (4)
س4 +2 س2ص2 + ص4 = 169
( س2 + ص2 )2 = (13)2
س2 + ص2 = 13 .................. (5)
من (1) ، (5) بالجمع نحصل على س وبالطرح نحصل على ص كما يلي:
من الجمع نجد أن: 2س2 = 18 أي س2 = 9 أي س = ± 3
من الطرح نجد أن: 2ص2 = 8 أي ص2 = 4 أي ص = ± 2
ـــــــــــــــــــــ
/\ 5 + 12ت = ± (3 +2ت) لاحظ لإيجاد الجذر التربيعي للعدد 5–12ت وبنفس الطريقة
ـــــــــــــــــــــ
/\ 5 – 12ت = ± ( 3 – 2 ت) " لاحظ هنا 2س ص = –12 مما يعني أنَّ س ، ص إشارتهم مختلفة"
طريقة أخرى للحل بوضع العدد على صورة مربع كامل وهي طريقة صحيحة وسهلة.
5 + 12ت = 9 + 12ت – 4 " أخذنا نصف 12 وهو 6 وبحثنا عن عددين حاصل ضربهم 6 والفرق بين مربعيهما 5 وهما 3 ، 2"
= 9 + 12ت + 4ت2 " لاحظ –4 = 4 ت2 "
= (3 + 2ت)2 بأخذ الجذر التربيعي للطرفين
ــــــــــــــــــــ
/\ 5 + 12ت = ± ( 3 + 2 ت)
طريقة ثالثة للحل باستخدام القانون
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــ
حـ + /\حـ2 + د2 – حـ + /\حـ2 + د2
س = /\ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ، ص = /\ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
2 2
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــ
5 + /\25 + 144 – 5 + /\ 25 + 144
س = /\ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ، ص = /\ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
2 2
ــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــ
5 + 13 – 5 + 13
س = /\ــــــــــــــــــــ ، ص = /\ـــــــــــــــــــ
2 2
= 3 ، = 2
ــــــــــــــــــــ
/\ 5 + 12ت = ± ( 3 + 2 ت)