الجذر التربيعي للعدد المركب ع = (ل ، هـ) ـ الصورة القطبية ـ

بفرض أن (ك ، ى) جذر التربيعي للعدد المركب (ل ، هـ) فإن:

(ل ، هـ) = (ك ، ى)2     نضعهم على الصورة المثلثية

ل(حتاهـ + ت حاهـ) = [ك(حتاى + ت حاى)]2         بفك القوس مع ملاحظة ت2 = –1

                          = ك2( حتا2ى – حا2ى + 2ت حتاى حاى )        وبمساواة الحقيقي بالحقيقي والتخيلي بالتخيلي

ل حتاهـ =  ك2( حتا2ى – حا2ى )    .................. (1)

ل حاهـ  = 2ك2حتاى حاى               .................. (2)        بتربيع (1) ، (2)

ل2حتا2هـ = ك4( حتا4ى – 2 حا2ى حتا2ى + حتا4ى )     ...... (3)

ل2 حا2هـ = 4ك4حتا2ى حا2ى    ..................................... (4)        بجمع (3) ، (4)

ل2( حا2هـ + حتا2هـ ) = ك4( حتا4ى + 2 حا2ى حتا2ى + حا4ى )        لاحظ: حا2هـ + حتا2هـ = 1

ل2 = ك4 (حتا2ى + حا2ى )2 = ك4 × 1 = ك4  ومنها ل = ك2 أي أن:

 

         ــــــ

ل = /\ ك        ............................... (5)     نعوض في (2)

 

ك2حاهـ = 2ك2حتاى حاى        بحذف ك2  ، حا2ى = 2حاى حتاى يكون:

 

حاهـ = حا2ى  ومنها هـ = 2ى أي أن:

 

        هـ

ى = ــــــ         ............................... (6)

        2

 

من (5) ، (6) نحصل على أن:

 

                      ـــــ                                                                                     ــــ                   ــــ 

                                                                                                                      هـ                   هـ

                             هـ

( ك ، ى ) = ( /\ ل ، ـــــــ )  ويكون الجذران التربيعيان للعدد المركب (ل ، هـ) هما ( /\ ل ، ـــــــ ) ، ( /\ ل ، ـــــــ + π )

                             2                                                                                       2                    2

 

يمكن الحصول على نفس النتيجة بالتعويض في القانون السابق للجذر التربيعي

 

 

(ل ، هـ) = ل حتاهـ + ت ل حاهـ  بوضع حـ = ل حتاهـ ، د = ل حاهـ فيكون

            ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ                                       ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                         ــــــــــــــــــ                                                         ـــــــــــــــــ

               حـ + /\حـ2 + د2                                              – حـ + /\حـ2 + د2

س = /\ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ                ،            ص = /\ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ   

                        2                                                                   2   

 

            ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ                                   ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                               ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ                                                         ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

               ل حتاهـ+ /\ل2حتا2هـ + ل2حا2هـ                                       –ل حتاهـ + /\ل2حتا2هـ + ل2حا2هـ   

س = /\ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ           ،            ص = /\ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ   

                                2                                                                                  2   

 

 ل2حتا2هـ + ل حا2هـ = ل2(حتا2هـ + حا2هـ ) = ل2 × 1 = ل2             بالتعويض في س ، ص

 

           ــــــــــــــــــــــــــ                                       ــــــــــــــــــــــــــــــ

 

             ل حتاهـ + ل                                           – ل حتاهـ + ل

س = /\ـــــــــــــــــــــــــ                ،            ص = /\ ـــــــــــــــــــــــــــ

                  2                                                           2   

   ل حتاهـ + ل = ل (حتاهـ + 1) = ل [2حتا2(هـ/2) – 1 + 1] = 2ل حتا2(هـ/2)

– ل حتاهـ + ل =  ل (– حتاهـ + 1) = ل [ – (1– 2حا2(هـ/2)  + 1] = 2ل حا2(هـ/2)      وبالتعويض في س ، ص

           ــــــــــــــــــــــــــ                                              ــــــــــــــــــــــــــ

س = /\ ل حتا2(هـ/2)                         ،          ص = /\ ل حا2(هـ/2)

           ـــ                                                                ـــ

س = /\ل حتا(هـ/2)                             ،          ص = /\ل حا(هـ/2)  ومنهم يكون

 

                                                                ــــ                  ـــ

                                                                                            هـ      

                                                                       هـ

الجذران التربيعيان للعدد المركب (ل ، هـ) هما ( /\ل ، ـــــــ ) ، ( /\ ل ، ـــــــ + π )

                                                                       2                   2

 

                                                              ط

مثال: أوجد الجذرين التربيعيين للعدد ع = ( 4 ، ــــــ ) واكتب كل منهم بالشكل الجبري ومثلهم بيانياً.                تمــاريــــــــــن

                                                              3 

 

                                  ط                ط

الحل: الجذران هما ( 2 ، ــــــ ) ، ( 2 ، ــــــ + ط  )  حيث أن ط هي π

                                 6                6

                                                                              ـــــ

                                           ط               ط             /\3          1

        الجذر الأول جبرياً: 2 (حتا ـــــ  + ت حا ــــــ ) = 2( ـــــــــ  + ت ـــــ )

                                           6              6              2            2

                                                                          ــــ

                                                                   = (/\3 ، 1)

 

                                                                                   ـــــ

                                           7ط              7ط               /\3           1

        الجذر الثاني جبرياً: 2 (حتا ـــــــ  + ت حا ـــــــ ) = 2( – ـــــــــ  – ت ـــــ )

                                            6                6                 2            2

                                                                            ــــ

                                                                   = (–/\3 ، –1)

                                                                                                  ـــــ

                                                ط                ط               1          /\3 

        العدد المركب ع جبرياً: 4(حتا ـــــــ  + ت حا ـــــــ ) = 2(  ــــــ  + ت ــــــــ  )

                                               3                3               2            2

                                                                                ــــ

                                                                   = (2،2/\3 )