ملاحظة عن المشتقة الأولى للدالة

    المشتقة الأولى للدالة Y = aXⁿ +bX^n-1 + ... + c بالنسبة للمتغير X هي Y^\ = a(n)X^n–1 + b(n–1)X^n–2 + ....c تكون أصغر قيمة ممكنة للمتغير التابع Y عندما تكون المشتقة الأولى تساوي الصفر أو عند X المتغير المستقل الذي يجعل المشتقة الأولى يساوي الصفر ويهمنا هنا مشتقة مقار مربع بالصورة ( أ + ب س)² بالنسبة للمتغير س حيث تكون المشتقة الأولى أس القوس × القوس للأس السابق مطروحاً منه واحد صحيح × مشتقة ما بداخل القوس أي مشتقة القوس هنا هي 2(أ + ب س) × ب وللمعلومات ذات تفاصيل أكثر في هذا المجال راجع العنوان ../analysisa/derived.htm

برهان المعادلة الاعتدالية لخط المربعات الصغرى

بفرض المعادلة المطلوبة (مستوى الانحدار للمجتمع) هي  Y = a +  bX₁+ cX₂

إن قيم Y = y₁ + y₂ + y₃ + ... + y_n مقابلة لقيم X_i2 = X₁₂ + X₂₂ + X₃₂ + ... + X_n2  ,  X_i1 = X₁₁ + X₂₁ + X₃₁ + ... + X_n1   في حين القيم الفعلية للمتغير التابع Y هي y₁ , y₂ , y₃ , ... , y_n والمسافة الرأسية هي Y₁ – y_i = a +  bX_i1+ cX_i2 – y_i  حيث  Y1 = a +  bX_i1+ cX_i2

    وبفرض S مجموع المربعات للانحرافات الناتجة، فللحصول على أصغر قيمة ممكنة للكمية S ( نهاية صغرى ) عندما تكون التفاضلات الجزئية لها بالنسبة إلى  a , b , c تساوي الصفر (شرط النهاية الصغرى) وبالاشتقاق ووضع المشتقة تساوي الصفر وإجراء العمليات الجبرية على الناتج نحصل على:

ٍS = ( a +  bX₁₁+ cX₁₂ – y₁ )² + ( a +  bX₂₁+ cX₂₂ – y₂ )² + ( a +  bX₃₁+ cX₃₂ – y₃ )² + ... + ( a +  bX_n1+ cX_n2 – y_n )²

əS

— = 2(a +  bX₁₁+ cX₁₂ – y₁) + 2( a +  bX₂₁+ cX₂₂ – y₂) + 2(a +  bX₃₁+ cX₃₂ – y₃) + ... + 2(a +  bX_n1+ cX_n2 – y_n) = 0

əa

2(a +  bX₁₁+ cX₁₂ – y₁) + 2(a +  bX₂₁+ cX₂₂ – y₂) + 2(a +  bX₃₁+ cX₃₂ – y₃) + ... + 2(a +  bX_n1+ cX_n2 – y_n) = 0

(a +  bX₁₁+ cX₁₂ – y₁) + (a +  bX₂₁+ cX₂₂ – y₂) + (a +  bX₃₁+ cX₃₂ – y₃) + ... + (a +  bX_n1+ cX_n2 – y_n) = 0

na + b(X₁₁ + X₂₁ + X₃₁ + ... + X_n1) + c(X₁₂ + X₂₂ + X₃₂ + ... + X_n2) – (y₁ + y₂ + y₃ + ... + y_n) = 0

na + b ∑X₁ + c ∑X₂  – ∑Y = 0

 ∑Y = na + b ∑X₁ + c ∑X₂   ....... (1)

The same way

 ∑X₁Y = a ∑X₁ + b ∑X₁²  + c ∑X₁X₂    ....... (2)

 ∑X₂Y = a ∑X₂ + b ∑X₁X₂  + c ∑X₂²    ....... (2)

 ـــــــــــ أوـــــــــ

المعادلة   Y = a +  bX₁+ c X₂ إذا قمنا بعملية التجميع إلى n مرة نحصل على مجموع Y هو Y∑ ومجموع a هو na ومجموع bX₁ هو b ∑ X₁ و ... فنحصل على:

 ∑Y = na + b ∑X₁ + c ∑X₂   ....... (1)

وإذا ضربنا Y = a +  bX₁+ c X₂ في X₁ نحصل على  YX₁ = aX₁ +  bX₁²+ c X₁X₂  ولنجمع كما سبق أعلاه فنحصل على المعادلة الثانية:

 ∑(X₁Y) = a ∑X₁ + b ∑X₁² + c ∑X₁X₂

وإذا ضربنا Y = a +  bX₁+ c X₂ في X₂ نحصل على  YX₂ = aX₂ +  bX₁X₂+ c X₂²  ولنجمع كما سبق أعلاه فنحصل على المعادلة الثانية:

 ∑(X₂Y) = a ∑X₂ + b ∑X₁X₂ + c ∑X₂²