البرهان :

        ص =  د(س) =  حـ    ← (1)

        د(س + هـ) =  حـ       ← (2)   إحداث تغير قدره هـ  في س ، لاحظ  حـ  ثابت لا يحدث أي تغير في قيمتها

        ت(هـ) = د(س + هـ) – د(س) =  حـ – حـ = 0     بطرح (1) من (2)  وهذا قيمة التغير في الدالة

                        د(س + هـ) – د(س)

        م(هـ) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = 0 لاحظ هـ ≠  صفر وهذا قيمة متوسط التغير للدالة وهو

                                    هـ

                                           د(س + هـ) – د(س)

        د^¯(س) = غــــــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  لاحظ هـ ≠  صفر وهذا قيمة معدل التغير للدالة وهو

                         هـ ← 0              هـ

                    = صفر

برهان آخر لمشتقة الثابت

        إن الخط البياني للمعادلة ص = حـ هو خط مستقيم يوازي محور السينات فلأي قيمة على الخط البياني س₀ ابتدائية ولأي تغير في س فلا يحدث أي تغير مناظر في ص أي أن مقدار التغير ت(هـ) = صفر وبالتالي م(هـ) = 0 وعليه فإن المشتقة الأولى عند س = س₀ = صفر أي ص¯ =  صفر  

فلأي كمية ثابتة تكون المشتقة الأولى صفراً

برهان ثالث لمشتقة الثابت

        الدالة ص = حـ يمثلها بيانياً مستقيم يوازي محور السينات و المماس عند أي نقطة هو المستقيم نفسه أي موازياً محور السينات الذي ميله صفر وعليه يكون ميل منحنى الدالة ص = حـ عند أي نقطة عليه = صفر وعليه فالمشتقة الأولى = صفر

    ص = 7 ¬  ص¯ =  صفر  

    ص = ل ¬  ص¯ =  صفر  حيث ل ثابت

البرهان :

     د(س) = س    ←  (1)

    د(س + هـ ) = س + هـ  ← (2)

    د(س + هـ ) ـ  د(س) = هـ   وهذا ت(هـ) مقدار التغير في الدالة

                   د(س + هـ) – د(س)          هـ 

    م(هـ) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــ  = 1 لاحظ هـ ≠  صفر وهذا قيمة متوسط التغير للدالة وهو

                             هـ                       هـ

                                      د(س + هـ) – د(س)

    د^¯(س) = غــــــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  لاحظ هـ ≠  صفر وهذا قيمة معدل التغير للدالة وهو

                    هـ ← 0              هـ

                = 1

البرهان : د(س) = س^ن

          ص = ع ± ى       كل من ص ، ع ، ى دوال في المتغير س

          ص¯ = ع¯ ± ى¯    يمكن البرهنة بنفس الطريقة السابق

    يمكن تعميم ذلك على أكثر من دالتين بالصورة

          ص = ع ± ى ± ل          كل من ص ، ع ، ى ، ل دوال في المتغير س

          ص¯ = ع¯ ± ى¯ ±  ل¯   يمكن البرهنة بنفس الطريقة السابق

مثال (1)

    إذا كان :  ص = 3 س⁴ + 5 س² – 4 س + 7

    فــــإن :  ص¯ = 3 × 4 س³ + 5 × 2 س – 4 + 0

                ص¯ = 12 س³ + 10 س – 4

مثال آخر (2)

    إذا كان :  ف = 3 ن² + 5 ن – 4  ،  ف المسافة ، ن الزمن   

    فـــــإن :  ف¯= 6 ن + 5    

مثال ثالث (3)

        أوجد ميل المماس للمنحنى ص = س³ + 2 س² – 6 س + 5 عند النقطة ( 1 ، 2 )  وما قيمة الزاوية التي يصنعها هذا الماس مع الاتجاه الموجب لمحور السينات

الحـــل :

        ص = س³ + 2 س² – 6 س + 5

        ص¯ = 3 س² + 4 س – 6    ميل المماس عند أي نقطة على المنحنى

        [ ص¯ ]_{( 1 ، 2 )} = 3 × 1 + 4× 1 – 6

        [ ص¯ ]_{( 1 ، 2 )} = 1

        ميل المماس المطلوب = 1

        طـاهـ = 1  حيث هـ الزاوية المطلوبة

        هـ = 45^ه  

البرهان :

مثال :

    إذا كانت المشتقة الأولى للدالة حاس هي حتاس فإن

        ص = س حاس                ص = س حتاس + 1 حاس = س حتاس + حاس

مثل(1) : إذا كانت د(س) = (س + 1)(س³ –4)  فأوجد د¯(س)

الحـــل :

            د¯(س) = (س + 1) × ( 3س² –0) + (1 + 0) × (س³ – 4)

            د¯(س) = (س + 1) × ( 3س²) + (1) × (س³ – 4)

            د¯(س) = 3س²(س + 1) + س³ –4

            د¯(س) = 3س³ + 3س² + س³ –4

            د¯(س) = 4س³ + 3س² –4

يمكن وضع د(س) بصورة كثيرة حدود بالصورة التالية ومن ثم الاشتقاق ويكون هذا حلاً للمسألة كالآتي : ـ

              د(س) =  س⁴ +  س³ – 4 س –4   ( ناتج ضرب القوسين)

            د¯(س) = 4س³ + 3س² –4 × 1 –0

            د¯(س) = 4س³ + 3س² – 4

لاحـظ : لا يمكن اختصار د ع مع  د ع فليس لها معنى مستقل في حين إمكانيته في D ع  ،  D ع لوجود معنى لها بقيمة التغير في ع

يمكن وضع القاعدة السابقة على الصورة :ـ   ص = ع  ^ن  فإن ص¯ =  ن ع ^ن-1 × ع¯

وكثيراً ما نجد الصورة :ـ  د(س) = [ ق(س)]^ن حيث يكون  د¯(س) = ن [ ق(س) ]^ن-1 ×  ق¯(س)

ومن الجدير بالذكر هنا القول بأن ص = س ^ن  يكون ص¯ = ن س ^ن × 1   حيث 1 مشتقة س كما نعلم وعليه يجب القول دوماً بأن :ـ

 مثال (1) :

إذا كانت ص = ( 3 س⁴ + 2 س –1 )⁵  فإن

 ص¯ = 5( 3 س⁴ + 2 س –1 )⁴( 12 س³ + 2 )

ص¯ = 10 (3 س⁴ + 2 س –1)⁴ (10 س³ + 1)

وهناك من يعجبه الحل بوضع ع مساوياً ما بداخل القوس ويعوض ويشتق كما يلي : ـ

ما ذا يحدث إذا اشتقينا الدالة ص³ وهي دالة في س ، الأمر بسيط بالقاعدة السابقة 3 ص² × ص¯  وهذا ما يقودنا للدالة الضمنية وهي الدالة التي تربط المتغيرين س ، ص في صورة معادلة غير محلولة بالنسبة إلى ص كالمعادلة س² + س ص + ص² = 5 وبالطبع الدالة ص = ع⁵ دالة صريحة إذا كانت كل من ع ، ص دوال للمتغير س وسبق اشتقاقها وفي الدوال الضمنية نشتق غالباً بالنسبة للمتغير س كما في المثال التالي

مثال : أوجد قيمة المشتقة الأولى ( ص¯ ) للدالة الضمنية : س² + ص² + 6 س – 8 ص – 24 = 0  ( هذه معادلة دائرة )

الحل : س² + ص² + 6 س – 8 ص – 24 = 0

        2 س + 2 ص ص¯ + 6 – 8 ص¯ = 0 بالقسمة على 2 نحصل على

         س + ص ص¯ + 3 – 4 ص¯ = 0

        ص ص¯ – 4 ص¯ =  – س –  3

           ص¯ ( ص –  4 ) = –  ( س + 3 )    بالقسمة على – 1

           ص¯ ( 4 –  ص ) =  ( س + 3 )

           ص¯  =  ( س + 3 ) ÷ ( 4 –  ص )