∫ (هـ)^{ب س} حا^ن س  د س  ، ن عدد صحيح موجب

الإثبــــأت

نضع ف = حا^ن س فإن: د ف = ن حا^ن–1س × حتاس د س                                                            مثــــــــال 

                                                   1

ونضع د ق = (هـ)^{ب س} د س  فإن: ق = ــــــ (هـ)^{ب س}

                                                   ب           

 ∫(هـ)^{ب س} حا^ن س  د س= ∫ ف د ق

                               = ف × ق – ∫ ق د ف

                                                1                    1 

                               = حا^ن س × ــــ (هـ)^{ب س} – ∫ ـــــ (هـ)^{ب س}  ن حا^ن–1س × حتاس د س

                                                ب                    ب

                                   1                               ن

                         = ـــ (هـ)^{ب س}  حا^ن س +   ـــــ∫ (هـ)^{ب س} حا^ن–1س حتاس د س     ← (1)

                                   ب                               ب

والتكامل في الطرف الأيسر

نضع ف = حا^ن–1س حتاس ومنها د ف = [حا^ن–1س × – حاس + حتاس (ن –1)حا^ن–2س × حتاس] د س " تفاضل حاصل الضرب"

                                                  = [حا^ن س – (ن –1)حا^ن–2س حتا²س)] د س     "بتطبيق قوانين الأسس"

                                                  = [حا^ن س – (ن –1)حا^ن–2س ( 1 – حا²س)] د س  بفك الأقواس في الحد الثاني

                                                  = [حا^ن س – (ن –1)حا^ن–2س + ن حا^ن س – حا^ن س] د س  بالحذف

                                                  = [ن حا^ن س – (ن –1)حا^ن–2س ] د س

                                                   1

ونضع د ق = (هـ)^{ب س} د س  فإن: ق = ــــــ (هـ)^{ب س}

                                                   ب           

 ∫(هـ)^{ب س} حا^ن–1س حتاس د س= ∫ ف د ق

                                          = ف × ق – ∫ ق د ف

    لاحظ أن حا^ن س = حا^ن–1س × حاس  حيث جرى استبدالها في الحد الأول في السطر قبل السابق ثم أخذنا العامل المشترك

وهذا هو قانون الاختزال وبتطبيق ذلك عدة مرات على التكامل في الطرف الأيسر فيتوقف في النهاية على :

∫(هـ)^{ب س} د س                    في حال ن عدداً زوجياً

∫(هـ)^{ب س} حا س  د س         في حال ن عدداً فردياً

قد سبق ذكر هذه التكاملات سابقاً فالتكامل الأول معروف أما الثاني فالإثبات هنا  أو تجده في عنوان التكامل بالتجزيء

تنبيه : بنفس الطريقة يمكن الحصول على ∫ (هـ)^{ب س} حا^ن س  د س  ، ن عدد صحيح موجب