∫ (هـ)^{ب س} حا(حـ س) د س 

      بفرض ف = حا(حـ س)   ومنها  د ف = حـ حتا(حـ س) د س

                                                1

    ، د ق = (هـ)^{ب س}     ومنها  ق = ــــ (هـ)^{ب س}

                                                ب

∫ (هـ)^{ب س} حا(حـ س) د س = ∫ ف . د ق

                                    = ف × ق – ∫ ق . د ف

                                                        1                     1

∫ (هـ)^{ب س} حا(حـ س) د س = حا(حـ س) × ـــــ (هـ)^{ب س} – ∫ ـــــ (هـ)^{ب س} × حـ حتا(حـ س) د س

                                                        ب                    ب

                                          1                                  حـ

                         = ـــــ (هـ)^{ب س} حا(حـ س)  –  ــــــ ∫ (هـ)^{ب س} حتا(حـ س) د س      ← (1)

                                          ب                                  ب

     بإيجاد التكامل في الطرف الأيسر

     بفرض ف = حتا(حـ س)   ومنها  د ف = – حـ حا(حـ س) د س

                                                1

    ، د ق = (هـ)^{ب س}     ومنها  ق = ــــ (هـ)^{ب س}

                                                ب

∫ (هـ)^{ب س} حتا(حـ س) د س = ∫ ف . د ق

                                   = ف × ق – ∫ ق . د ف

                                                          1                    1

                        = حتا(حـ س) ×  ــــ (هـ)^{ب س} – ∫ ـــــ (هـ)^{ب س} × – حـ حا(حـ س) د س 

                                                          ب                    ب

                                        1                                 حـ

                        = ـــــ (هـ)^{ب س} حتا(حـ س) +  ـــــ ∫(هـ)^{ب س} حا(حـ س) د س     ← (2)

                                        ب                                 ب

من (2) في (1)

                                        1                               حـ   1                                حـ

∫ (هـ)^{ب س} حا(حـ س) د س =  ـــــ (هـ)^{ب س} حا(حـ س) – ـــــ [ــــ (هـ)^{ب س} حتا(حـ س) +  ــــــ∫(هـ)^{ب س} حا(حـ س) د س]

                                        ب                               ب   ب                                ب

                                        1                               حـ                                حـ²

∫ (هـ)^{ب س} حا(حـ س) د س =  ـــــ (هـ)^{ب س} حا(حـ س) – ــــــــ (هـ)^{ب س} حتا(حـ س) – ـــــــ ∫(هـ)^{ب س} حا(حـ س) د س 

                                        ب                              ب²                                ب²

بنقل التكامل للأيمن وتوحيد المقامات في الأيمن

  ب² + حـ²                                        1                               حـ  

(ـــــــــــــــــ)∫ (هـ)^{ب س} حا(حـ س) د س =  ـــــ (هـ)^{ب س} حا(حـ س) – ــــــــ (هـ)^{ب س} حتا(حـ س)       بالضرب × ب² 

      ب²                                             ب                              ب²                            

( ب² + حـ²)∫ (هـ)^{ب س} حا(حـ س) د س = ب(هـ)^{ب س} حا(حـ س) – حـ (هـ)^{ب س} حتا(حـ س)

                                                    = (هـ)^{ب س} [ ب حا(حـ س) – حـ حتا(حـ س)]

                                                       ب حا(حـ س) – حـ حتا(حـ س)

∫ (هـ)^{ب س} حا(حـ س) د س = (هـ)^{ب س} [ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ] + ث

                                                     ب² + حـ²