∫ (س)^ن حتا(ب س) د س 

      بفرض ف = (س)^ن  ومنها  د ف = ن (س)^ن–1 د س

                                                1

    ، د ق = حتا(ب س)   ومنها  ق = ــــ حا(ب س)

                                                ب

∫ (س)^ن حتا(ب س) د س = ∫ ف . د ق

                                 = ف × ق – ∫ ق . د ف

                                                1                      1

∫ (س)^ن حتا(ب س) د س = (س)^ن × ـــــ حا(ب س) – ∫ ـــــ حا(ب س) .  ن (س)^ن–1 د س

                                                ب                     ب

                                      1                             ن

                      =  ـــــ (س)^ن حا(ب س) –  ــــــ ∫(س)^ن–1 حا(ب س) د س     ← (1)

                                      ب                            ب

     بإيجاد التكامل في الطرف الأيسر

      بفرض ف = (س)^ن–1   ومنها  د ف = (ن–1) (س)^ن–2 د س

                                                  1

    ، د ق = حا(ب س)   ومنها  ق = – ــــ حتا(ب س)

                                                  ب

∫ (س)^ن–1 حا(ب س) د س = ∫ ف . د ق

                                   = ف × ق – ∫ ق . د ف

                                                         1                      1

                        = (س)^ن–1× – ـــــ حتا(ب س) – ∫ ـــــ حتا(ب س) . (ن–1)(س)^ن–2 د س

                                                         ب                      ب

                                        –1                                ن–1

                        = ــــــ (س)^ن–1حتا(ب س) +  ــــــــــ ∫(س)^ن–2 حتا(ب س) د س     ← (1)

                                         ب                                  ب

من (2) في (1)

                                      1                             ن     –1                                ن–1

∫ (س)^ن حتا(ب س) د س =  ـــــ (س)^ن حا(ب س) –  ــــــ [ــــــ (س)^ن–1حتا(ب س) +  ـــــــــــ ∫(س)^ن–2 حتا(ب س) د س]

                                      ب                            ب      ب                                   ب

                                     1                             ن                                 ن(ن–1)

∫ (س)^ن حتا(ب س) د س =  ـــــ (س)^ن حا(ب س) + ــــــــ (س)^ن–1حتا(ب س) – ــــــــــــــــــ ∫(س)^ن–2حتا(ب س) د س   ... (2)

                                     ب                            ب²                                   ب²

مع عدم وجود ن في المقام وبتكرار العملية عدة مرات على القانون السابق (2) فيتوقف التكامل الأخير على:

1) بتكامل حتا(ب س) إذا كانت ن زوجية  وهو تكامل قياسي معروف

2) بتكامل س حتا(ب س) إذا كانت ن فردية وقد سبق ذكره أعلاه في (1)                        مثال