القطوع المخروطية (ملخص)

القطـع الناقص

نشأته وإيجاد معادلته ( البـرهـان )

هو المحل الهندسي لنقطة تتحرك في المستوى بحيث يكون مجموع بعديها عن نقطتين ثابتتين في المستوى ثابتاً . وتعرف النقطتان الثابتتان بأنهما بؤرتي القطع الناقص، والقطع الناقص أما أن يكون مركزه نقطة الأصل (0،0) أو أي نقطة في المستوى (د ، هـ ) بنقل المحاور إليها وللقطع الناقص محورين(أساسي وثانوي أو أكبر وأصغر) ورأسيين ومركز والجدولين الآتيين ملخص عن القطع الناقص

( 0 ، 0 ) نقطة الأصل				المركز
				المعادلة القياسية للقطع
يقع على المحور الصادي ( طوله = 2 ب )		يقع على المحور السيني ( طوله = 2 أ )		المحور الأكبر
(0 ، - حـ)	(0 ، حـ)	(- حـ ، 0)	( حـ ، 0 )	البؤرتان
(0 ، - أ )	(0 ، أ )	(- أ ، 0 )	( أ ، 0 )	الرأسان
محور الصادات( س = 0 ) ، محور السينات( ص = 0 )				محور التناظر

( د ، هـ ) أي نقطة في المستوى				المركز
				المعادلة القياسية للقطع
يقع على المحور الصادي ( طوله = 2 ب )		يقع على المحور السيني(طوله = 2 أ )		المحور الأكبر
( د ، هـ - حـ)	( د ، هـ + حـ)	(د - حـ ، هـ)	(د + حـ ، هـ)	البؤرتان
( د ، هـ - أ )	( د ، هـ + أ )	( د - أ ، هـ )	( د + أ ، هـ )	الرأسان
س = د (موازي محور الصادات) ، ص = هـ (موازي محور السينات)				محور التناظر

بعد التقديم السابق يجب الاهتمام بالجدول مع أن الجدول الثاني ناتج من الجدول الأول بنقل للنقطة (د ، هـ) لرأس المنحنى فالعملية هي عملية جمع ، لاحظ البؤرة في الجدول الأول (0 ، أ) أضف (د ، هـ) تنتج البؤرة (د ، هـ + أ) المناظرة في الجدول الثاني وكذلك الرأس في الأول ( أ ، 0 ) فأضف ( د ، هـ ) ينتج ( د + أ ، هـ ) المناظر له في الجدول الثاني وقس على ذلك مع أن هذا ليس علماً بقدر ما هو تسهيلاً إجراء عمل ما

ومعادلة القطع الناقص في الجدول الثاني تؤول إلى الصورة ل س² + ك ص² + ن س + ى ص + م = 0 حيث ل ك > 0 أي ل ، ك لهما نفس الإشارة وهي المعادلة العامة للقطع الناقص ويجب استخدام إكمال المربع أو أي طريقة أخرى لوضعها بإحدى الصور السابقة لمعرفة أ ، ب ومنها حـ حيث ا² = ب² + حـ²

إن النسبة حـ : أ تسمى الاختلاف المركزي للقطع الناقص ويرمز لها بالرمز e حيث 0 < e < 1

الدائرة حالة خاصة من القطع الناقص ، فإذا كان e = 0 فإن حـ = 0 ومن ا² = ب² + حـ² تكون أ = ب فيصبح القطع الناقص دائرة

مثال : المعادلة 4 س² + 9 ص² + 16 س – 18 ص - 11 = 0

س² + 16 س + 9 ص² – 18 ص – 11 = 0 بترتيب الرموز

4(س² + 4 س) + 9( ص² – 2 ص) – 11 = 0 العامل المشترك

4(س² + 4 س + 4 - 4) + 9( ص² – 2 ص +1 - 1) – 11 = 0 إضافة مربع نصف معاملي س ، ص

4(س² + 4 س + 4) - 16 + 9( ص² – 2 ص +1) - 9 – 11 = 0 إكمال المربع والتبسيط

4(س + 2)² + 9(ص – 1)² = 36 بالقسمة على 36 ¬ (س + 2)² /9 + (ص – 1)² / 4 = 1

9 > 4 ، 9 مقام س ... فالمحور الأكبر موازي محور السينات

الرأس ( -2 ، 1)

أ² = 9 ومنها أ = 3 ، ب² = 4 ومنها ب = 2

أ² = ب² + حـ² فإن 9=4+حـ² ومنها حـ =(5) ^½

البؤرتان هما ((5)^½ - 2 ، 1 ) ، ( - (5)^½ - 2 ، 1 )

الرأسان هما ( 3 – 2 ، 1 ) ، ( - 3 –2 ، 1 ) أي ( 1 ، 1 ) ، ( - 5 ، 1 )

محوري التناظر هما س = - 2 ، ص = 1 لاحظ هما إحداثيتي المركز

طرفا المحور الأصغر(المرافق) ( -2 ، 3 ) ، ( -2 ، -1 ) وطوله = 2ب = 2×2=4

طرفا المحور الأكبر(الأساسي ) (1 ، 1 ) ، ( - 5 ، 1 ) وطوله = 2 أ = 2×3=6

مع تمنياتي بالتوفيق وملاحظاتكم تطوير للموجود ...................... محمد شكري الجماصي