معادلات الاتجاه الأسي Exponential Trend Equations

    يستخدم هذا النوع من المعادلات لقياس الاتجاهات ذات نسب التغير السنوي الثابتة وتستخدم المعادلة النصف اللوغاريتمية لبحث حالة الاتجاه يزداد أو يتناقص بنسبة مئوية سنوية ثابتة ويكون الاتجاه أسي حال تبيان الاتجاه للسلسلة خط مستقيم والصورة لمعادلة الاتجاه الأسي حيث t السنة ، t`متوسط السلسلة فإن X = t –`t فإن المعادلة:

Y1 = d(1+i)( t –`t )  Or

Y1 = d(1+i)X     بأخذ اللوغاريتم الطبيعي

Lin Y1 = Lin d + X Lin (1+i)

وهي معادلة لوغاريتمية خطية يمكن استخدام طريقة المربعات الصغرى للحصول على القيم d , 1+i من الصيغتين الآتيتين:

Lin d = (∑LinY)/n                    → (1)

Lin(1 + i) = (∑XLinY)/∑X2     → (2)

مثال:

    الجدول التالي يبين عدد الطلاب الجدد لأحد المدارس الخاصة في السنوات 1991ــ 1999. أوجد الاتجاه الأسي وعدد الطلبة الجدد المتوقع سنة 2007 ومثلها بيانياً.

 

1999 1998 1997 1996 1995 1994 1993 1992 1991 السنة
4 3 2 1 0 – 1 – 2 – 3 – 4 X
98 94 95 94 93 94 89 88 85 عدد الطلاب Y

 

من البيانات نجد أن n = 9 ، ومتوسط السنوات هو  t`ويساوي 1995 ولإيجاد المطلوب نكون جدول البيانات التالي:

 

X LinY LinY X2 Y X السنة
– 17.7706 4.4427 16 85 – 4 1991
– 13.4320 4.4773 9 88 – 3 1992
– 8.9773 4.4886 4 89 – 4 1993
– 4.5433 4.5433 1 94 – 1 1994
0.0000 4.5326 0 93 0 1995
4.5433 4.5433 1 94 1 1996
9.1078 4.5539 4 95 2 1997
13.6299 4.5433 9 94 3 1998
18.3399 4.5850 16 98 4 1999
0.8976 40.710 60 830 5 Total

 

نستخدم الصيغ (1) ، (2) أعلاه لحساب القيم المطلوبة

Lin d = (∑LinY)/n

          = 40.71 / 9

          = 4.5233

       d = 92.1392 ≈ 92.12

Lin(1 + i) = (∑XLinY)/∑X2

                = 0.8976 / 60

                = 0.015

       1 + i  = 1.0151 ≈ 1.02

              i = 0.0151 ≈ 1.02

معدل النمو السنوي i = 0.0151 أي النسبة المئوية للزيادة في عدد الطلاب الجدد هي 0.0151 × 100 = 1.51% والمعادلة الاتجاه الأسي هي:

Y1 = d(1+i)( t –`t )

Y1 = 92.12(1.02)( t – 1995)

عدد الطلاب الجدد المتوقع سنة 2007

Y1 = 92.12(1.02)( 2007 – 1995)

Y1 = 92.12(1.02)12

Y1 = 92.12× 1.2682

 Y1 = 117

نكرر التعويض عن كل سنة t من سنوات السلسلة الزمنية (1991 ـ 1999) والقيم الناتجة قربت لعدد صحيح ( لاحظ الجدول أدناه) يمكن تمثيلها كما في الشكل التالي والذي يبين شكل انتشار القيم الفعلية حول خط الاتجاه الأسي:

 

عنصر الاتجاه t
 85 1991
 87 1992
 89 1993
 90 1994
 92 1995
 94 1996
 96 1997
 98 1998
 100 1999