طريقة المربعات الصغرى Least Square Method:
الطريقة الأكثر استخدام (سبق ذكرها في الانحدار) بها يتم التقليل من مجموع مربعات الفروق بين القيم الفعلية والقيم المحسوبة حيث القيم الفعلية هي الزمن والقيم المحسوبة قيم المتغير المطلوب له إيجاد اتجاهه العام وسنرمز بالرمز X للقيم الفعلية وبالرمز Ŷ لقيم الاتجاه المحتسبة.
نقاط خط الانحدار تمثل المتوسط الشرطي للمتغير التابع Y لقيمة المتغير المستقل X والفرق (الانحراف) بين قيم المتغير Y عن المتوسطات الشرطية هي الأخطاء العشوائية وتمثل الانحرافات لقيم السلسلة عن خط الاتجاه العام للبيانات باستثناء المتغيرات الموسمية وعند توفيق خط الاتجاه العام بهذه الطريقة سيكون Ŷ ممثلة للقيم الاتجاهية و X تمثل الزمن وسنعتمد الصيغ الرياضية:
(1) Ŷ = a + b X
n∑XY – ∑X ∑Y
(2) b = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
n∑X2 – (∑X)2
(3) a = `Y – b`X
يمكن اعتماد مجموع قيم X مساوياً للصفر بتغيير مقياس السلسلة الزمنية بإعطاء قيمة صفر لمركز السلسلة والزمن أعلا المركز مخالف في الإشارة للزمن أسفله وتصبح ا
لصيغ (2) ، (3) أعلاه ( X = 0∑ ) بالصورة الآتية:ـ
(1) Ŷ = a + b( t –`t )
∑XY
(2) b = ــــــــــــــــ
∑X2
∑Y
(3) a = ــــــــــــــ
n
مثال:
لإيجاد معادلة الاتجاه العام للبيانات المبينة في الجدول التالي:
| X2 | X Y | Y |
X |
السنة X |
| 1 | 40 | 40 | 1 | 1985 |
| 4 | 66 | 33 | 2 | 1986 |
| 9 | 87 | 29 | 3 | 1987 |
| 16 | 100 | 25 | 4 | 1988 |
| 25 | 105 | 21 | 5 | 1989 |
| 36 | 192 | 32 | 6 | 1990 |
| 49 | 280 | 40 | 7 | 1991 |
| 64 | 360 | 45 | 8 | 1992 |
| 51 | 369 | 41 | 9 | 1993 |
| 100 | 400 | 40 | 10 | 1994 |
| ∑X2 = 385 | ∑XY = 1999 | `Y = 346 / 10 = 34.6 | `X = 55/10 = 5.5 |
باستخدام الصيغ السابقة:
n∑XY – ∑X ∑Y
b = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
n∑X2 – (∑X)2
10(1999) – 55×346
b = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
10(385) – (55)2
19990 – 19030
b = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
3850 – 3025
960
b = ـــــــــــ
825
b = 1.16
a = `Y – b`X
a = 34.6 – 1.16(5.5)
a = 34.6 – 6.38
a = 28.22
Ŷ = a + b X
Ŷ = 28.22 + 1.16 X
وهذه معادلة الاتجاه العام لقيم الأجور للفترة المبينة بالجدول.
إذا أردنا أن نجعل مجوع X مساوي للصفر نتبع الآتي:
لتكن t رمز للسنة الحقيقية ونضع الرمز X للسنة الجديدة وهنا أما يكون عدد السنين فردي أو زوجي فإن كان فردياً فنأخذ السنة الوسطى t`وتكون: X = t – `t وفي حالة عدد السنين زوجي فنأخذ متوسط السنتين الأولى والأخيرة أو اللتان تقع في الوسط أو أي سنتين على بعدين متساويين من الأولى والأخيرة.
في الجدول السابق (المثال أعلاه) عدد السنين 10 وبالتالي قيمة المتوسط لسنتين = ( 1985 + 1994) ÷ 4 = 1989.5 والواقعة بين 1989 ، 1990 والقيم الجديدة للسنة X من الصيغة X = t –`t كما هو مبين بالجدول التالي:
| X2 | X Y | Y |
X |
السنة X |
| 20.25 | – 180 | 40 | 1985 – 1989.5 = – 4.5 | 1985 |
| 12.25 | – 115.5 | 33 | 1986– 1989.5 = – 3.5 | 1986 |
| 3.25 | – 72.5 | 29 | 1987 – 1989.5 = – 2.5 | 1987 |
| 2.25 | – 37.5 | 25 | 1988 – 1989.5 = – 1.5 | 1988 |
| 0.25 | – 10.5 | 21 | 1989 – 1989.5 = – 0.5 | 1989 |
| 0 | 0 | 0 | 1989.5 – 1989.5 = 0.0 | 1989.5 |
| 0.25 | 16 | 32 | 1990 – 1989.5 = 0.5 | 1990 |
| 2.25 | 60 | 40 | 1991 – 1989.5 = 1.5 | 1991 |
| 6.25 | 112.5 | 45 | 1992 – 1989.5 = 2.5 | 1992 |
| 12.25 | 143.5 | 41 | 1993 – 1989.5 = 3.5 | 1993 |
| 20.25 | 180 | 40 | 1994 – 1989.5 = 4.5 | 1994 |
| ∑X2 = 82.5 | ∑XY = 96 | 346 | ∑ X = 0 |
باستخدام الصيغ السابقة:
∑XY
b = ــــــــــــــــ
∑X2
96
b = ـــــــــــ
82.5
b = 1.16
∑Y
a = ــــــــــــــــ
n
346
a = ـــــــــــــ
10
a = 34.6
معادلة الاتجاه الخطي هي:
Ŷ = 34.6 + 1.16( t – 1989.5 )
معادلة خط الاتجاه العام يمكن استخدامها للتنبؤ بالأجور مثلاً حسب مثالنا هنا لمعرفة المتوقع للأجور سنة 1998 كما يلي:
فالأجور في سنة 1998 مثلاً المتوقع أن تساوي من المعادلة ( بوضع t = 1998 ) :
Ŷ = 34.6 + 1.16( 1998 – 1989.5 )
Ŷ = 34.6 + 1.16(8.5)
Ŷ = 34.6 + 9.86
Ŷ = 44.46
وإذا استخدمنا المعادلة Ŷ = 28.22 + 1.16 X في المثال هنا للحل الأول أعلاه وللتنبؤ للأجور سنة 1998 نجد أنَّ:
سنة 1998 تأخذ الترتيب 14 حسب الجدول أعلاه الذي يبدأ سنة 1985 حيث نستبدل X بالقيمة 14 كما يلي:
Ŷ = 28.22 + 1.16 X
Ŷ = 28.22 + 1.16(14)
Ŷ = 28.22 + 16.24
Ŷ = 44.6