تحليل التباين الأحادي مع أكثر من مستوى واحد للمجموعة الواحدة

أولاً: تحليل التباين الأحادي مع مستويين لمجموعة واحدة

    نستخدم الصيغ التالية:

مجموع مربعات التباين بين المجاميع SSB

مجموع مربعات التباين الكلي SST

 

  ( SSW = WWT – SSB ) حيث SSW مجموع مربعات التباين ضمن المجاميع

 

مجموع مربعات التباين ضمن المجاميع الجزئية SSSW

 

 مجموع مربعات التباين بين المجاميع الجزئية الواقعة ضمن المجاميع SSSB

 

 

مما سبق نحصل على جدول تحليل التباين الأحادي لأكثر من مستوى واحد وهو:

 

Source Variance d f S S MS F
بين المجاميع k – 1 SSB SSB / (k – 1) MSSB / MSSSB
بين المجاميع الجزئية k ( m – 1 ) SSSB SSSB / k ( m – 1 )
ضمن المجاميع الجزئية k m ( n – 1 ) SSSW SSSW / k ( N – 1 ) MSSSB / MSSSW
المجموع الكلي k m n – 1 SST  

مثال:

    فيما يلي تحصيل درجات مادة الرياضيات لفصلين دراسيين، أخذنا درجات أربعة طلاب من ثلاثة صفوف من كل فصل دراسي. هل هناك فروق معنوية لمتوسط تحصيل درجات الطلاب للفصلين (Term1,2) بين صفوف الدراسة (Classes).

رموز المجاميع
Classes (k = 3) Class 1 Class 2 Class 3
Students (m = 4) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

Term 1

 65 70 85 68 59 66 90 88 75 84 69 68

n=2    Term 2

 65 80 92 75 62 60 85 90 70 79 72 70

   n

المجاميع الجزئية X∑

 125 150 167 143 121 126 175 178 145 163 141 138

m n     

∑ ∑X

585

600

578

 

الحل:

    SST = [(60)2 + (70)2 + (85)2 + ... + (72)2 + (70)2] – [( 585 + 600 + 587)2] / (2×3×4)

            = 133064 – (3139984 / 24)

            = 133064 – 130832.7

            = 2231.333

    SSB = [[(585)2 + (600)2 + (587)2] / (2×4)] – [( 585 + 600 + 587)2] / (2×3×4)

            = ( 342225 + 360000 + 344569) / 8 – (3139984 / 24)

            = 130849.3  – 130832.7

            = 16.583

     SSSB = [(125)2 + (150)2 + (167)2 + ... + (141)2 + (138)2] / 2 – [[(585)2 + (600)2 + (587)2] / (2×4)]

               = 265808 / 2 – ( 342225 + 360000 + 344569) / 8

               = 132904 – 130849.3

               = 2054.7

       SSSW = [(60)2 + (70)2 + (85)2 + ... + (72)2 + (70)2] –  [(125)2 + (150)2 + (167)2 + ... + (141)2 + (138)2] / 2

                  = 133064 – 265808 / 2

                  = 133064 – 132904

                  = 160

جدول تحليل التباين

 

Source Variance d f S S MS F
بين المجاميع 3 – 1 = 2 SSB = 16.583 16.583 / 2 = 8.292 16.583 / 2054.7 = 0.008
بين المجاميع الجزئية 3 ( 4 – 1 ) = 9 SSSB = 2054.7 2054.7 / 9 = 228.3
ضمن المجاميع الجزئية 3 × 4 × (2 – 1 ) = 12 SSSW = 160 160 / 12 = 13.333 2054.7 / 160 = 12.842
المجموع الكلي 3 × 4 × 2 – 1 = 23 SST = 2231.333  

 

عند مستوى معنوية α1 = 0.01 نجد أن: Fα1/2,(2,9) = 10.11    وعند مستوى معنوية α2 = 0.02 نجد أن: α2/2,(9,12) = 4.935

وعليه يكون:  i10.11 > 0.008  يعني عدم وجود فروق بين الصفوف

ولكن نجد أن: i12.842 > 4.935مما يعني وجود فروق جوهرية بين الدرجات ضمن الصفوف خلال الفصلين الدراسيين.