التوزيعات الاحتمالية Probability Distributions

توزيع بواسون Poisson Distribution                                                                                                          جدول بواسون Ptable

توزيع احتمالي منفصل يستخدم للمتغيرات العشوائية المحددة في فترة زمنية محدودة أو في منطقة صغيرة كالحوادث المرورية في أسبوع أو عدد الأخطاء في صفحة كتاب أو ...

يتصف التوزيع هذا باستقلالية المحاولات (n) حيث n ≥ 50

احتمال حدوث نجاح واحد في فترة زمنية قصيرة يتناسب مع طول الفترة الزمنية وكذلك بالنسبة للمنطقة حيث يتناسب مع مساحتها.

احتمال وقع النجاح  لحدثين أو أكثر مهمل

متوسط عدد محاولات النجاح معلوم

احتمال النجاح ثابت وصغير

التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي x الذي يمثل عدد النجاحات الممكنة في فترة محددة أو منطقة محددة ، μ العدد المتوقع لحالات النجاح في الوحدة (الوسط الحسابي لتوزيع بواسون والبعض يرمز له λ ) فإنَّ دالة احتمال توزيع بواسون هي:

 

 

            μx e–μ

                         P(x) = ———    ,  x= 0, 1, 2, 3, ..., ¥    , e= 2.71828    ,  μ = np  "In EXCEL : e–μ = EXP(–7)"  OR Calculator

              x!

لاحظ تساوي قيمة الوسط الحسابي والتباين في توزيع بواسون الذي يعتمد على المعلمة الوحيدة μ كما أن منحنى هذا التوزيع ملتو جهة اليمين (التواء موجب)

مثال:

    معدل عدد الحوادث على الطريق العام i7 مرات في الأسبوع، فما احتمال عدم وقوع حادث في أسبوع معين على نفس الطريق.

الحل:

    P(0)i الاحتمال المطلوب

           70 e–7       1 × e–7

P(x) = ——— = ——— = e–7 = 0.00091

              0!                1

يمكن تكوين جدول لكل النتائج كالآتي:

 

X 0 1 2 3 4 5 6 7 ...... TOTAL
P(X) 0.00091 0.00638 0.02234 0.05213 0.09122 0.12771 0.14900 0.14900 ...... 1

 

لاحظ:

P(X, x≥4)

P(X, x≥4) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)]

                 = 1 – [0.00091 + 0.00638 + 0.02234 + 0.05213]

                 = 1 – 0.08176

                 = 0.91824

احتمال وقوع 4 حوادث على الأقل = 1 – احتمال 0 ، 1 ، 2 ، 3

 = 1 – (0.00091 + 0.00638 + 0.02234 + 0.05213)

 = 1 – 0.08176

 = 0.91824

 

P(X, x≤4)

P(X, x≤4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3)

                 = 0.00091 + 0.00638 + 0.02234 + 0.05213

                 = 0.08176

احتمال وقوع 3 حوادث على الأكثر

 = احتمال 0 ، 1 ، 2 ، 3

 = 0.00091 + 0.00638 + 0.02234 + 0.05213

 = 0.08176

If 3 Events in a week Then μ = 3 × 2 = 6 in 2 weeks

P(X,x>2) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2)]

 

 

                         60 e–6       61 e–6      62 e–6

               = 1 – ——— + ——— + ———

                            0!             1!             2!

               = 1 – (0.0025 + 0.0149 + 0.0446)

               = 1 – 0.062

               = 0.938

إذا كان معدل عدد الحوادث في أسبوع هو 3 فإن:ـ

احتمال أكثر من حادثين في أسبوعين  = 1– احتمال 0 ، 1، 2

حيث أن μ في أسبوعين هو 3 × 2 = 6

= 1ــ [ل(0) + ل(1) + ل(2)]

 

 

     62 e–6      61 e–6       60 e–6س       

= 1–  ——— + ——— + ———       

             0!            1!              2!

= 1 – (0.0025 + 0.0149 + 0.0446)

= 1 – 0.062

=  0.938

                              

نظرية:

    في حالة n كبيرة ، P صغيرة حيث تبقى np قيمة معتدلة يكون توزيع ذات الحدين يقرب من توزيع بواسون

مثال:

    إذا كانت نسبة المصابين بمرض السكري في منطقة هي i0.003 فما احتمال عدم وجود أي مصاب بالمرض في حي من المنطقة يقطنه i1000نسمة

الحل:

    باستخدام توزيع ذات الحدين:

n = 1000 , p = 0.003

P(x) = P(X = x) = nCx Px (1 – P)n – x 

                          = 1000C0 (0.003)0 (1 – 0.003)1000 – 0

                          =1×1× 0.9971000

                          = 0.0496

استعمال توزيع بواسون:

μ = np

   = 1000 × 0.003

   = 3

 

            μx e–μ

P(x) = ——— 

              x!

   

            30 e–3

P(x) = ——— 

              0!

 

        = 0.0498

لاحظ الفرق بين الجوابين صغير جداً i0.0002