المقدمة:

سبق أن ذكرنا عن دالة توزيع متغير عشوائي منته وتوقعه وأوضحنا ذلك ببعض الأمثلة وهنا نذكر نقاط جديدة وأمثلة جديدة كما يلي:

Examples    1    2    3    4    5   التباين والانحراف المعياري

التوقـع (  E(X) Or μ):                                                                                                         

    التطبيق ƒ: S →T حيث كل عنصر من T يناظر عنصر من S وتكون ƒ(S)i هي المجال المقابل أو النطاق المصاحب للدالة ƒ وإن التخصيص لعناصر S كمجموع العددين الظاهرين في تجربة

    إلقاء حجري نرد يعرف بالمتغير العشوائي، وإذا كان X، Y متغيران عشوائيين على على الفضاء S وإن C عدد ثابت فإنَّ:

" s Î S:  (X + Y)(S) = X(S) + X(S)     ,     XY(S) = X(S) Y(S)    ,     (X + C)(S) = X(S) + C     ,     (CX)(S) = CX(S)

    دالة الاحتمال:

    لتكن X متغير عشوائي معرف على فضاء العينة L حيث أن:

X(L) = { x₁, x₂, ..., x_n}

    فتكونX(L)i فضاء احتمال باحتمال x_i بأنه P(X = x_i)i ويكتب بالصورة ƒ(x_i)i وتعرف بدالة احتمال المتغير X أي ƒ(x_i) =  P(X = x_i)i وتكون:

                                                                                                        n

ƒ(x_i) ≥ 0    ,    S ƒ(x_i)  = 1

                                                                                                                                 i =1

    تكتب الدالة هذه بصورة الجدول كالآتي:

ويكون التوقع (Expected - Expectation) أو قيمة المتوسط (Average value) أو القيمة المتوقعة للمتغير X ويرمز له E(X)i أو μ_x اختصاراً μ وتحسب من:

E(X) = x₁ƒ(x₁) + x₂ƒ(x₂) + x₃ƒ(x₃) + ... + x_nƒ(x_n) = μ

وهو الوسط المرجح(الاحتمالات للدكتور سيمور ليبشتز) للقيم الممكنة للمتغير العشوائي X حيث ترجح القيم لاحتمالها أي كل قيمة بالاحتمال الخاص بها.

            n

E(X) = S x_iƒ(x_i)

              i =1

ويلاحظ أنَّ :

E(X²) = x₁²ƒ(x₁) + x₂²ƒ(x₂) + x₃²ƒ(x₃) + ... + x_n²ƒ(x_n)

              n

 E(X²) = S x_i²ƒ(x_i)

                                                                                                         i =1

التباين والانحراف المعياري (Variance And Standard Division)

     ذكرنا بأن المتغير العشوائي يقيس قيم المتغير X.

    ويعرف تباين X ورمزه Var(X)i بما يلي مع العلم بأن E(X) = μ و X المتغير العشوائي له دالة التوزيع المبين في الجدول الآتي:

               n

Var(X) = S (x_i ─ μ)² ƒ(x_i) = E((X ─ μ)²)

                   i =1

ويعرف الانحراف المعياري بأنه الجذر ألتربيعي للتباين ويرمز له بالرمز σ_x ويمكن وضع الصيغة التالية لحساب التباين:

Var(X) =  E(x)² ─ μ²

The prove

  n                             n

 S x_iƒ(x_i) = 1   ,     S ƒ(x_i) = μ  ........ (1)

 i =1                                   i =1

               n

Var(X) = S (x_i ─ μ)² ƒ(x_i)                    

                   i =1

               n

Var(X) = S (x_i² ─ 2μx_i + μ²)ƒ(x_i)                                فك القوس

                   i =1

               n                          n                        n

Var(X) = S x_i²ƒ(x_i) ─ 2μS x_iƒ(x_i) + μ²Sƒ(x_i)            إدخال السجما

                   i =1                             i =1                           i =1

               n

Var(X) = S x_i²ƒ(x_i) ─ 2μ μ + μ² 1                                 التعويض من المعادلات في (1) أعلاه

                   i =1

               n

Var(X) = S x_i²ƒ(x_i) ─ 2μ² + μ²                              التعويض من المعادلات في (1) أعلاه

                   i =1

               n

Var(X) = S x_i²ƒ(x_i) ─ μ²                                        المطلوب

                   i =1

                      Or

               n

Var(X) = S E(X²) ─ [E(X)]²                                       

                   i =1

مثال(1):

    ألقي حجري نرد مرة واحدة ولتكن X تخصص لكل زوج من فضاء النواتج القيمة الأصغر لعنصري الزوج المرتب. احسب توقع X والتباين والانحراف المعياري.

الحــل:

    فضاء النواتج S حيث:

S = {(1, 1), (1, 2), ... , (6, 6)}

    X متغير عشوائي لكون أن:

X(a, b) = a  if a < b Or b if b < a

وعليه تكون النتائج لكافة الأزواج هي القيم من الواحد الصحيح حتى الستة وتكون X متغير عشوائي أي أن:

X(S) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

والتوزيع الاحتمالي ƒ  للمتغير العشوائي X يحسب كالتالي :

مع ملاحظة أنَّ ƒ(1) = C حيث C احتمال الأزواج التي يكون فيها العدد الأصغر يساوي i1

                                                                                                                                                        11

ƒ(1) = P(X = 1) = P({(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (3, 1), (4, 1),(5, 1), (6, 1)} = —

                                                                                                                                                        36    

                                                                                                                                     9

ƒ(2) = P(X = 2) = P({(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)} = —

                                                                                                                                    36   

                                                                                                               7

ƒ(3) = P(X = 3) = P({(3, 3),(3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 3), (5, 3), (6, 3)} = —

                                                                                                              36

                                                                                         5

ƒ(4) = P(X = 4) = P({(4, 4),(4, 5),(4, 6), (5, 4), (6, 4)} = —

                                                                                        36

                                                                      3

ƒ(5) = P(X = 5) = P({(5, 5), (5, 6), (6, 5)} = —

                                                                     36

                                                 1

ƒ(6) = P(X = 6) = P({(6, 6)} = —

                                                36

    يمكن وضع هذه النتائج في جدول كالآتي:

نعلم أنَّ:

E(X) = x₁ƒ(x₁) + x₂ƒ(x₂) + x₃ƒ(x₃) + ... + x_nƒ(x_n)

بالإمكان إضافة صف جديد للجدول السابق يبين الطرف الأيسر في E(X)i كالتالي:

   11 + 18 + 21 + 20 + 15 + 6        91

E(X) = ——————————  = — ≈ 2.5

                     36                    36

Expected Value = 2.5                                  

نضيف صف جديد للجدول السابق x_i²ƒ(x_i)i لحساب التباين والانحراف المعياري كالتالي:

    11 + 36 + 63 + 80 + 75 + 36     301

E(X²) = ——————————  = — ≈ 8.4

                     36                    36

               n

Var(X) = S E(X²) ─ [E(X)]²                                    

                   i =1

               = 8.4 ─ (2.5)²

                                                                                  = 2.15

                                                                                        ——     

                                                                               σ = √ 2.15 = 1.466

لاحظ المستطيلات الرأسية هي احتمالات قيم عناصرS.

رأس الصفحة

تمرين: في المثال السابق لتكن X تُخصص للزوج (a, b) القيمة الأصغر.            (الجواب i(7)

مثال(2):

    صُممت قطعة نقود بحيث يكون احتمال ظهور الصورة i3/4 واحتمال ظهور الكتابة i1/4 فألقيت ثلاث مراث. أكتب فضاء النواتج، وأحسب توقيع المتغير المتغير العشوائي X الذي يخصص لكل نقطة من فضاء النواتج أكبر عدد لمرات ظهور الصورة وكذلك التباين والانحراف المعياري.

الحــل:

P(H) = 3/4   احتمال ظهور الصورة

P(T) = 1/4   احتمال ظهور الكتابة   

S = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT}

نحسب احتمالات عناصر الفضاء الثمانية كالآتي:

P(HHH) = 3/4×3/4×3/4 = 27/64    ظهور ثلاث صور

P(HHT) = 3/4×3/4×1/4 = 0.141  ,  P(HTH) = 3/4×1/4×3/4 = 9/64  ,  P(THH) = 1/4×3/4×3/4 = 9/64    ظهور صورتان وكتابة

P(TTH) = 1/4×1/4×3/4 = 3/64    ,  P(THT) = 1/4×3/4×1/4 =3/64    ,  P(HTT) = 3/4×1/4×1/4 =3/64      ظهور كتابتان وصورة

P(TTT) = 1/4×1/4×1/4 = 1/64    ظهور ثلاث كتابات

نحسب النطاق المصاحب (المجال المقابل) للمتغير العشوائي X كالآتي:

X(HHH) = 3    عدد الصور

X(HHT) = X(HTH) = X(THH) = 2    عدد الصور

X(TTH)  = X(THT) = X(HTT) = 1    عدد الصور

X(TTT) = 0    عدد الصور

X(S) = { 0, 1, 2, 3}    المجال المقابل

نحسب الاحتمالات المقابلة كالآتي:

ƒ(0) = P(TTT) = 1/64   عدم ظهور صورة

ƒ(1) = P(HTH U THT U TTH U HTT) = 9/64 + 3/64 + 3/64 + 3/64 = 18/64    ظهور صورة منفردة

ƒ(2) = P(HHT U THH) = 9/64 + 9/64 = 18/64    ظهور صورتان على التوالي

ƒ(3) = P(HHH) = 27/64    ظهور ثلاث صور على التوالي

يمكن وضع النواتج في جدول كالآتي:

نضيف صف جديد للجدول السابق يبين حاصل ضرب x_iƒ(x_i)i كالآتي:

E(X) = 2.11

نضيف صف جديد للجدول السابق x_i²ƒ(x_i)i لحساب التباين والانحراف المعياري كالتالي:

                 0 + 18 + 72 +243         333

E(X²) = ——————— = —— ≈ 9.25

                        36                36

               n

Var(X) = S E(X²) ─ [E(X)]²     التباين             

                   i =1

            = 9.25 ─ (2.11)²

            = 4.8

                  ——     

         σ = √ 4.8 = 2.2        الانحراف المعياري

رأس الصفحة

تمرين: في المثال السابق إذا صُممت القطعة بحيث الاحتمال للصورة i 5 ÷3 وللكتابة i5 ÷ 2أوجد التوقع الرياضي.        (الجواب: i1.66)

مثال(3):

    صندوق يحوي i20 لمبة كهرباء من بينها i4 لمبات تالفة (معيبة). سحبت من الصندوق i4 لمبات،  أوجد القيمة المتوقعة لعدد اللمبات المعيبة والتباين والانحراف المعياري.

الحــل:

    المعيب من اللمبات قد يكون: i 4 or 3 or 2 or 1 or 0

فضاء العينة S وعدد كل منه كالتالي:

²⁰C₄ = 4845                                         عدد الوحدات السليمة والمعيبة

¹⁶C₄ × ⁴C₀ = 1820 × 1 = 1820            الوحدات الأربع سليمة

¹⁶C₃ × ⁴C₁ = 560 × 4 = 2240              ثلاثة وحدات سليمة وواحدة معيبة

¹⁶C₂ × ⁴C₂ = 120 × 6 = 720                وحدتان سليمة ووحدتان معيبة

¹⁶C₁ × ⁴C₃ = 16 × 4 = 64                    وحدة واحدة سليمة وثلاث وحدات معيبة

¹⁶C₀ × ⁴C₄ = 1 × 1 = 1                        الوحدات الأربع معيبة

يمكن وضع النواتج (للوحدات المعيبة) في جدول كالآتي:

نضيف صف جديد للجدول السابق يبين حاصل ضرب x_iƒ(x_i)i كالآتي:

E(X) = 0.8

نضيف صف جديد للجدول السابق x_i²ƒ(x_i)i لحساب التباين والانحراف المعياري كالتالي:

                  0 + 2440 + 2880 + 576 + 16        5712

E(X²) = ——————————— = —— ≈ 1.2

                              4845                           4845

               n

Var(X) = S E(X²) ─ [E(X)]²     التباين             

                   i =1

            = 1.2 ─ (0.8)²

            = 0.56

                  ——     

         σ = √0.56 = 0.75        الانحراف المعياري

رأس الصفحة

مثال(4):

    قيل لشخص بأن يلقي حجر النرد فله من الدنانير لكل عدد زوجي وعليه من الدنانير لكل عدد فردي. هل هذه العينة ملائمة للشخص ليكسب.

الحــل:

    الجدول الآتي يبين النتائج لحساب التوقع علماً بأن القيمة السالبة تعني الخسارة وهي للأعداد الفردية:

E(X) = 1

من حيث أنَّ القيمة المتوقعة موجبة فاللعبة ملائمة للشخص للكسب.

رأس الصفحة

تمرين:  قيل لشخص بأن يلقي حجر النرد فله من الدنانير لكل عدد فردي وعليه من الدنانير لكل عدد زوجي. هل هذه العينة ملائمة للشخص ليكسب.   (الجواب: اللعبة غير ملائمة للشخص للكسب)

مثال (5):

    ألقيَّ حجري نرد وليكن X متغير عشوائي يعين مجموع العددين الظاهرين على حجري الترد احسب كل من التوقع ، التباين ، الانحراف المعياري.

الحــل:

    أقل مجموع للوجهين الظاهرين هو i2 من الزوج ( i1، 1) وأكبر مجموع هو i12 من الزوج ( i6، 6) ونكون الجدول للنتائج كما يلي:

    لاحظ أن: البسط في الصف الثاني يمثل عدد الأزواج للمجموع المقابل له في الصف الأول كما هو مبين باللون الأصفر فمثلاً العدد i7 في الصف الأول يتأتي من جمع العنصرين في سبعة أزواج أي:

7 →  (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)

                                                          ——     

Expected = μ_x = E(X) = 7      ,    Var(X) = E(X²) ─ E(X)² = 54.8 ─ 49 = 5.8       ,        SD =  σ = √ 5.8 = 2.4