تقدم i10طلاب لاختبارين في الرياضيات والإحصاء مبينة درجاتهم في الجدول التالي:
| 75 | 72 | 80 | 78 | 70 | 70 | 66 | 63 | 54 | 32 | Math. (X) |
| 79 | 71 | 80 | 80 | 74 | 77 | 78 | 66 | 60 | 75 | Stat. (Y) |
احسب معامل الارتباط لعلامات الطلاب ( rxy ) وكذلك معادلة الانحدار
الحــل:
القوانين المستخدمة هنا هي: S2 = [ ∑ (xi –`X )2] / n حيث S الانحراف المعياري أو σ ، كما أنَّ S2 مقدار التباين
Zx = (X –`X) ÷ Sx ، Zy = (Y–`Y ) ÷ Sy ، rxy = [∑( Zx Zy)] / n
لحساب معامل الارتباط نكون الجدول التالي:
| Zx Zy | Zy | (Y –`Y)2 | Y –`Y | Zx | (X –`X)2 | X –`X | Y | X |
| – 0.148 | 0.160 | 1 | 1 | – 0.929 | 49 | – 7 | 75 | 62 |
| 4.450 | – 2.236 | 196 | – 14 | – 1.990 | 225 | – 15 | 60 | 54 |
| 1.017 | – 1.278 | 64 | – 8 | – 0.796 | 36 | – 6 | 66 | 63 |
| – 0.254 | 0.639 | 16 | 4 | – 0.398 | 9 | 3 | 78 | 66 |
| 0.064 | 0.479 | 9 | 3 | 0.133 | 1 | 1 | 77 | 70 |
| 0.000 | 0.000 | 0 | 0 | 0.133 | 1 | 1 | 74 | 70 |
| 1.144 | 0.958 | 36 | 6 | 1.149 | 81 | 9 | 80 | 78 |
| 1.399 | 0.958 | 36 | 6 | 1.459 | 121 | 11 | 80 | 80 |
| – 0.191 | – 0.479 | 9 | – 3 | 0.398 | 9 | 3 | 71 | 72 |
| 0.636 | 0.799 | 25 | 5 | 0.796 | 36 | 6 | 79 | 75 |
| 8.116 | 392 | 0 | 568 | 0 | 740 | 690 | ||
|
rxy = 8.116÷10 = 0.812 |
|
S2= 392/10 = 39.2 Sy = 6.261 |
|
|
S2= 568/10 = 56.8 Sx =7.537 |
|
`Y = 740/10 = 74 |
`Y = 690/10 = 69 |
يمكن حساب معامل الارتباط بطرق أخرى وأهمها الحاسب الآلي وبرنامج SPSS أو EXCEL أو MINITAB و MINITAB لمعادلة الانحدار
نحسب كل من α و β من معادلة الانحدار Y = β X + α حيث β ميل الانحدار ، α ثابت الانحدار
βyx = rxy× (Sy / Sx) = 0.812 × (6.261 / 7.537 ) = 0.675
αyx =`Y – βyx`X = 74 – 0.675 × 69 = 27.425
معادلة الانحدار هي:
Y = 0.675 X + 27.425
من المعادلة السابقة نجد أن علامة الطالب في الإحصاء تزداد بمقدار i0.675لكل علامة واحدة زيادة في الرياضيات في حين لا تتغير قيمة العلامة في الإحصاء i27.425 كما يمكن معرفة علامة الإحصاء بالتعويض عن علامة الرياضيات في معادلة الانحدار باستبدال القيمة بالمتغير X في معادلة الانحدار فقيمة علامة الإحصاء عندما تكون علامة الرياضيات 82 مثلاً والقيمة الناتجة قد تختلف عن القيمة في جدول البيانات ( i63 التي تقابل i66) حال وجودها لكون العلاقة غير تامة والفرق بين القيمتين يعرف بخطأ التنبؤ أو خطأ التقدير ويرمز له بالرمز e ويكبر الفرق كلما ضعفت العلاقة ويقل كلما قويت العلاقة.
Y = 0.675 X + 27.425
Y' = 0.675 × 63 + 27.425 = 69.95
e = 69.95 – 66 = 3.95
الحل باستخدام MINITAB لحساب معامل الارتباط
الحل باستخدام MINITAB لإيجاد معادلة الانحدار
