∫ (هـ)^{ب س} حتا^ن س  د س  ، ن عدد صحيح موجب

الإثبــــأت

نضع ف = حتا^ن س فإن: د ف = ن حتا^ن–1س × – حاس د س                                                            مثــــــــال 

                                                   1

ونضع د ق = (هـ)^{ب س} د س  فإن: ق = ــــــ (هـ)^{ب س}

                                                   ب           

 ∫(هـ)^{ب س} حتا^ن س  د س= ∫ ف د ق

                               = ف × ق – ∫ ق د ف

                                                 1                    1 

                               = حتا^ن س × ــــ (هـ)^{ب س} – ∫ ـــــ (هـ)^{ب س}  ن حتا^ن–1س × – حاس د س

                                                 ب                    ب

                                   1                                ن

                         = ـــ (هـ)^{ب س}  حتا^ن س +   ـــــ∫ (هـ)^{ب س} حتا^ن–1س حاس د س     ← (1)

                                   ب                                ب

والتكامل في الطرف الأيسر

نضع ف = حتا^ن–1س حاس ومنها د ف = [حتا^ن–1س حتاس + حاس (ن –1)حتا^ن–2س ×(– حاس)] د س " تفاضل حاصل الضرب"

                                                  = [حتا^ن س – (ن –1)حتا^ن–2س حا²س)] د س

                                                  = [حتا^ن س – (ن –1)حتا^ن–2س ( 1 – حتا²س)] د س  بفك الأقواس في الحد الثاني

                                                  = [حتا^ن س – (ن –1)حتا^ن–2س + ن حتا^ن س – حتا^ن س] د س  بالحذف

                                                  = [ن حتا^ن س – (ن –1)حتا^ن–2س ] د س

                                                   1

ونضع د ق = (هـ)^{ب س} د س  فإن: ق = ــــــ (هـ)^{ب س}

                                                   ب           

 ∫(هـ)^{ب س} حتا^ن–1س حاس د س= ∫ ف د ق

                                          = ف × ق – ∫ ق د ف

    لاحظ أن حتا^ن س = حتا^ن–1س × حتاس  حيث جرى استبدالها في الحد الأول في السطر قبل السابق ثم أخذنا العامل المشترك

وهذا هو قانون الاختزال وبتطبيق ذلك عدة مرات على التكامل في الطرف الأيسر فيتوقف في النهاية على :

∫(هـ)^{ب س} د س                    في حال ن عدداً زوجياً

∫(هـ)^{ب س} حتا س  د س         في حال ن عدداً فردياً

قد سبق ذكر هذه التكاملات سابقاً فالتكامل الأول معروف أما الثاني فالإثبات هنا  أو تجده في عنوان التكامل بالتجزيء

تنبيه : بنفس الطريقة يمكن الحصول على ∫ (هـ)^{ب س} حا^ن س  د س  ، ن عدد صحيح موجب