_(هـ)^{ب س}

             ∫ ــــــــــــــــــــ د س

            _(س)^ن

نضع ف = (هـ)^{ب س} فإن: د ف = ب (هـ)^{ب س} د س

                     1                                               (س)^–ن+1            1              1 

ونضع د ق =  ـــــــــــ د س = (س)^–ن د س فإن: ق = ــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ × ــــــــــــــــــ

                   (س)^ن                                             –ن+1          –(ن–1)      (س)^ن–1  

           _(هـ)^{ب س}

     ∫ ــــــــــــــــــــ د س = ∫ ف د ق

           _(س)^ن

                               = ف × ق – ∫ ق د ف

                                                      1                1                     1             1  

                               = (هـ)^{ب س} × ـــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــــــ – ∫ ــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــ ب (هـ)^{ب س} د س

                                                  –(ن–1)       (س)^ن–1            –(ن–1)     (س)^ن–1  

                                      –1      (هـ)^{ب س}         ب         (هـ)^{ب س}

                               =   ـــــــــــ× ــــــــــــــــــ + ــــــــــــ ∫ ــــــــــــــــــ  د س    ← (1)

                                     ن–1     (س)^ن–1       ن–1      (س)^ن–1  

                                               (هـ)^{ب س}                                    (هـ)^{ب س}

    وبتطبيق (1) عدة مرات نجد أن ∫ ـــــــــــــــ د س  يتوقف أخيراً على  ∫ ـــــــــــــــ د س

                                                (س)^ن                                           س             

    لاحظ أن ن –1 ستصل إلى ن–ن=0 مما جعل المقام يصل فقط إلى س وليس إلى س⁰ حيث أس س = معامله(ن –1) في مقام (1)

    والتكامل الأخير يمكن إيجاده بواسطة سلسلة لانهائية حيث:

       (هـ)^{ب س}               1                       (ب س)²    (ب س)³    (ب س)⁴   (ب س)⁵

    ∫ ـــــــــــــــ د س = ∫ ــــــ[1 + (ب س) + ــــــــــــــ + ــــــــــــــ + ــــــــــــــ + ــــــــــــــ + ...] د س        " 3! = 3×2×1 مضروب 3"

           س                  س                          2!           3!            4!           5!

       (هـ)^{ب س}                                         (ب س)²    (ب س)³    (ب س)⁴   (ب س)⁵

    ∫ ـــــــــــــــ د س = لـو_هـ(س) + (ب س) + ــــــــــــــ + ــــــــــــــ + ــــــــــــــ + ــــــــــــــ + ...

           س                                             2(2!)       3(3!)       4(4!)      5(5!)

                     _(هـ)^2س

 مثال: أوجد ∫ ــــــــــــــــــــ د س

                   س⁴

الحـل: بتطبيق القانون (1) أعلاه

نضع ف = (هـ)^2س فإن: د ف = 2(هـ)^2س د س

                     1                                             س^{– 4 + 1}        1         1 

ونضع د ق =  ـــــــــــ د س = س^–4 د س فإن: ق = ــــــــــــــــــــــ = ـــــــــ × ـــــــــــ

                    س⁴                                            –4 +1         –3       س³  

           _(هـ)^{ب س}

     ∫ ــــــــــــــــــــ د س = ∫ ف د ق

            س⁴ 

                               = ف × ق – ∫ ق د ف

                                                  1         1           1        1  

                               = (هـ)^2س × ـــــــــ × ــــــــــ – ∫ ــــــــ× ــــــــــ × 2(هـ)^2س د س    ← (1)

                                                 –3       س³         –3     س³  

                                     –1     (هـ)^2س       2     (هـ)^2س

                               =   ــــــــ× ـــــــــــــــــ + ـــــ ∫ ــــــــــــــــــ  د س   

                                     3         س³          3       س³  

                                     –1     (هـ)^2س       2   –1   (هـ)^2س      2     (هـ)^2س

                               =   ــــــــ× ـــــــــــــــــ + ـــــ[ ــــ × ــــــــــــــ + ـــ ∫ ــــــــــــــــــ  د س]   ← (2)

                                     3         س³          3   2      س²         2         س²

                                     –1     (هـ)^2س       –1    (هـ)^2س      2    (هـ)^2س

                               =   ــــــــ× ـــــــــــــــــ + ـــــ ×  ــــــــــــــ + ـــ ∫ ـــــــــــــــ  د س

                                     3         س³          3         س²       3       س²

                                     –1     (هـ)^2س       –1    (هـ)^2س      2   –1    (هـ)^2س     2     (هـ)^2س

                               =   ــــــــ× ـــــــــــــــــ + ـــــ ×  ــــــــــــــ + ـــ[ ـــــ × ـــــــــــــــ + ــــ ∫ ـــــــــــــــ  د س]   ← (3)

                                     3         س³          3         س²       3    1         س        1         س

                                     – (هـ)^2س       (هـ)^2س       2(هـ)^2س     4     (هـ)^2س

                               =   ــــــــــــــــــــ –  ـــــــــــــــ  – ــــــــــــــــــ + ــــ ∫ ــــــــــــــ  د س

                                       3 س³          3 س²          3 س        3         س

                                      (هـ)^2س                                4     (هـ)^2س

                               = –  ـــــــــــــــ( 1+ س + 2س² ) +  ــــ ∫ ــــــــــــــ  د س  

                                      3 س³                                  3        ^س

                                      (هـ)^2س                                4                                 (2س)²     (2س)³

                               = –  ـــــــــــــــ( 1+ س + 2س² ) +  ــــ [ لـو_هـ(س) + (2س) + ــــــــــــــ + ــــــــــــــ + ... ]

                                      3 س³                                  3                                 2(2!)      3(3!)