∫ (هـ)^{ب س} (س)^ن  د س  ، ن عدد صحيح موجب ف

نضع ف = (س)^ن فإن: د ف = ن (س)^ن–1 د س

                                                   1

ونضع د ق = (هـ)^{ب س} د س  فإن: ق = ــــــ (هـ)^{ب س}

                                                   ب           

 ∫(هـ)^{ب س} (س)^ن  د س = ∫ ف د ق

                               = ف × ق – ∫ ق د ف

                                            1                    1 

                               = (س)^ن  ـــ (هـ)^{ب س} – ∫ ـــــ (هـ)^{ب س} ن (س)^ن–1 د س

                                            ب                    ب

                                   1                           ن

 ∫(هـ)^{ب س} (س)^ن  د س = ـــ (س)^ن (هـ)^{ب س} –   ــــ∫ (هـ)^{ب س} (س)^ن–1 د س    ← (1)

                                   ب                           ب

 لاحظ التكامل الجديد أختزل أس س من ن إلى (ن – 1) وبتكرار العملية عدة مرات حتى نصل إلى س⁰ = 1 ويكون التكامل الأخير إلى (هـ)^{ب س} الذي

           1

يساوي ــــــ (هـ)^{ب س} + ث ولكن لا يتطلب الأمر فعل ذلك في المسائل حيث تكون ن ، ب معلومتان ومثال ذلك:

           ب           

أوجد: ∫ هـ^2س  س⁴ د س

بتطبيق القانون أعلاه (1) أربع مرات متتالية (س⁴)  سنصل إلى س³ ثم س² ثم س¹ ثم س⁰= 1

التطبيق الأول للقانون:

                             1                    4

 ∫ هـ^2س س⁴ د س = ـــ س⁴هـ^2س –   ــــ∫ هـ^2س س³ د س     من التطبيق الأول للقانون

                            2                     2

                             1                       1                     3

                         = ــــ س⁴هـ^2س –2[ ــــ س³ هـ^2س  –  ـــ∫ هـ^2س س² د س]     من التطبيق الثاني للقانون

                             2                       2                     2

                             1                                      

                        = ــــ س⁴هـ^2س –  س³ هـ^2س  +  3∫ هـ^2س س² د س    من السطر السابق بفك القوس

                             2                                   

                              1                                            1                      2 

                         = ــــ س⁴هـ^2س –  س³ هـ^2س  +  3[ــــ س²هـ^2س – ∫ ـــــ هـ^2س س د س]    من التطبيق الثالث للقانون

                              2                                            2                      2 

                              1                                       3                       

                         = ــــ س⁴هـ^2س –  س³ هـ^2س  + ــــ س²هـ^2س – 3∫ هـ^2س س د س    من السطر السابق بفك القوس

                              2                                       2                     

                              1                                       3                        1                    1

                         = ــــ س⁴هـ^2س –  س³ هـ^2س  + ــــ س²هـ^2س – 3[ـــــ س هـ^2س – ــــ∫ هـ^2س د س]  من التطبيق الرابع للقانون

                              2                                       2                        2                    2

                              1                                       3                     3                    3

                         = ــــ س⁴هـ^2س –  س³ هـ^2س  + ــــ س²هـ^2س –  ـــــ س هـ^2س + ــــ∫ هـ^2س د س  من السطر السابق بفك القوس

                              2                                       2                     2                    2

                              1                                       3                     3                    3    1

                         = ــــ س⁴هـ^2س –  س³ هـ^2س  + ــــ س²هـ^2س –  ـــــ س هـ^2س + ــــ× ــــ هـ^2س + ث 

                              2                                       2                     2                    2    2

                              1  

                         = ــــ هـ^2س[ 2 س⁴– 4 س³ + 6س²– 6س + 3] + ث 

                              4