_{∫ حا}^م_{س حتا}^ن_{س د س}

الحالة الأولى  : ن عدد فردي موجب ، م أي عدد

بوضع حاس = ع فبالاشتقاق نحصل على حتاس د س = د ع

_{∫ حا}^م_{س حتا}^ن_{س د س = ∫ حا}^م_{س حتا}^ن–1_{س × حتاس د س      لاحظ تجزئة حتا}^ن_{س للحصول على حتاس}

                             _{= –∫ حا}^م_س(حتا²_س)^(ن–1)÷2 _{× حتاس د س}

                             _{= –∫ حا}^م_{س(1 – حا}²_س)^(ن–1)÷2 _{× حتاس د س     بالتعويض}

                             = –_∫ ع^م ( 1– ع²)^(ن–1)÷2 د ع   

     بملاحظة م عدد فردي فإن ن – 1 عدد زوجي ، (ن –1) ÷2 عدد صحيح وبالتالي يمكن استخدام نظرية ذات الحدين في فك القوس ويكون عندها التكامل بسيط في ع بعدها نستعيض عن ع = حاس

مثال: أحسب ∫ حا⁴س حتا³س د س

الحل: بوضع حاس = ع فبالاشتقاق نحصل على حتاس د س = د ع

∫ حا⁴س حتا³س د س = ∫ حا⁴س حتا²س × حتا س د س     لاحظ  حتا³س = حتا²س × حتا س

                             = ∫ حا⁴س (1 – حا²س) حتا س د س      بالتعويض حا س = ع

                             = ∫ ع⁴(1 – ع²) د ع

                             = ∫ ( ع⁴ – ع⁶ ) د ع

                                  1           1 

                             =  ـــــ ع⁵ –  ــــ ع⁷ + ث             بالتعويض عن ع = حاس

                                  5           7

                                  1               1         

                             =  ـــــ حا⁵س –  ــــ حا⁷س  + ث  

                                  5               7