∫ حامس حتانس د س
الحالة الأولى : م عدد فردي موجب ، ن أي عدد
بوضع حتاس = ع فبالاشتقاق نحصل على – حاس د س = د ع ، من قوانين الأسس س3 = س2 × س1
∫ حامس حتانس د س = –∫ حام–1س حتانس × – حاس د س لاحظ إضافة – من أجل ناتج الاشتقاق السابق
= –∫ (حا2س)(م–1)÷2 حتانس × – حاس د س
= –∫ (1 – حتا2س)(م–1)÷2 حتانس × – حاس د س بالتعويض
= –∫ ( 1– ع2)(م–1)÷2 × عن × د ع
بملاحظة م عدد فردي فإن م – 1 عدد زوجي ، (م –1) ÷2 عدد صحيح وبالتالي يمكن استخدام نظرية ذات الحدين في فك القوس ويكون عندها التكامل بسيط في ع بعدها نستعيض عن ع = حتاس
مثال: أحسب ∫ حا5س حتا4س د س
الحل: بوضع حتاس = ع فبالاشتقاق نحصل على – حاس د س = د ع
∫ حا5س حتا4س د س = –∫ حا4س حتا4س × – حا س د س لاحظ حا5س = حا4س × حا س
= –∫ (حا2س)2 حتا4س × – حا س د س
= –∫ (1 – حتا2س)2 حتا4س × – حا س د س بالتعويض حتا س = ع
= –∫ (1 – ع2)2 ع4 × د ع
= –∫ (1 – 2ع2 + ع4) ع4 × د ع
= –∫ ( ع4 – 2ع6 + ع8) د ع
1 2 1
= – ــــ ع5 + ـــــ ع7 – ــــ ع9 + ث بالتعويض عن ع = حتاس
5 7 9
1 2 1
= – ــــ حتا5س+ ـــــ حتا7س – ـــــ حتا9س+ ث
5 7 9