_{∫ حا}^م_{س حتا}^ن_{س. د س     بصورة عامة}

الحالة التي يكون فيها م = – ن فيكون:

                          _حا^م_س

_{∫ حا}^م_{س حتا}^–م_{س. د س = ∫} ــــــــــــــــ . د س = _{∫ طا}^م_{س د س = ∫ طا}^م–2_{س طا}²_{س د س}

                                      _حتا^م_س

                                _{= ∫ طا}^م–2_{س ( قا}²_{س – 1) د س = ∫ طا}^م–2_{س قا}²_{س د س – ∫ طا}^م–2_{س د س}

                          _طا^م–1_س

_{∫ حا}^م_{س حتا}^–م_{س. د س = ∫} ــــــــــــــــــــ . د س – _{∫ طا}^م–2_{س د س} 

                                        م – 1

وبتكرار ذلك فنحص على ∫ طاس د س  أو ∫ د س  وقد ذكر تكاملهم سابقاً

الحالة التي يكون فيها ن = – م وكما سبق نحصل على ∫ طتاس د س وبنفس الطريقة السابقة

الحالات الأخرى هي ل_{( م ، ن – 2)} ، ل_{( م – 2 ، ن)} ، ل_{(م ، ن + 2)} ، ل_{(م + 2 ، ن)} ، ل_{(م – 2 ، ن + 2)} ، ل_{(م + 2 ، ن – 2)} سنكتفي بقانوني اللذان يربطان التكامل

ل_(م،ن) بكل من  ل_{( م ، ن – 2)} ، ل_{( م – 2 ، ن)}

سنعتبر الدالة حا^بس حتا^حـس شريطة ب أكبر بواحد صحيح من أصغر الأسين المرفوع إليهما حاس ، حـ أكبر بواحد صحيح من أصغر الأسين المرفوع إليهما حتاس في التكامل الأصلي والتكامل المراد الاختزال إليه

(1) قانون الاختزال الذي يربط ل_(م،ن) بـ  ل_{( م ، ن – 2)}

نأخذ الدالة : ص = حا^م+1س حتا^{ن –1}س  نشتق كحاصل ضرب دالتين

    ص^/ = حا^م+1س × (ن–1) حتا^{ن –2}س × (– حاس) + (م + 1) حا^م س × (حتاس) × حتا^{ن –1}س

          = –(ن–1) حا^م+2س  حتا^{ن –2}س + (م + 1) حا^م س × (حتا^نس)

          = –(ن–1) حا^مس حا²س  حتا^{ن –2}س + (م + 1) حا^م س × (حتا^نس)

          = –(ن–1) حا^مس حتا^{ن –2}س(1 – حتا²س)   + (م + 1) حا^م س × (حتا^نس)

          = –(ن–1) حا^مس حتا^{ن –2}س   + (ن–1) حا^مس حتا^ن س + (م + 1) حا^م س × (حتا^نس)

          = –(ن–1) حا^مس حتا^{ن –2}س   + (م + ن) حا^م س × (حتا^نس)            بإجراء التكامل للطرفين

حا^م+1س حتا^{ن –1}س = –(ن–1) ∫ حا^مس حتا^{ن –2}س د س + (م + ن) ∫ حا^م س حتا^نس د س

                       حا^م+1س حتا^{ن –1}س        ن–1

∫ حا^م س حتا^نس د س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــ∫ حا^مس حتا^{ن –2}س د س            ........ (1)

                                         م + ن                  م + ن

(2) قانون الاختزال الذي يربط ل_(م،ن) بـ  ل_{( م– 2 ، ن )}

    نفس الطريقة السابقة ولكن نأخذ الدالة : ص = حا^{م– 1}س حتا^ن+1س فنحصل على

                      – حا^م–1س حتا^{ن +1}س       م –1

∫ حا^م س حتا^نس د س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــ∫ حا^م–2س حتا^نس د س            ........ (2)

                                           م + ن                  م + ن

وبنفس الطريقة تتم الحالات الأخرى مع الملاحظات التالية:

(1) م ، ن موجبتان فالقانون الذي يربط  ل_(م،ن) بـ  ل_{( م ، ن – 2)} يختزل الأس المرفوع إليه حتاس بقدر2 والقانون الذي يربط ل_(م،ن) بـ  ل_{( م– 2 ، ن )}  يختزل الأس المرفوع إليه حاس بقدر 2 وبتكرار استخدام القانونين نحصل أخيراً على ∫ د س = س + ث

(2) م موجبة ، ن سالبة فالعلاقة بين  ل_(م،ن) بـ  ل_{( م – 2، ن + 2 )}  تختزل كل من الأس المرفوع إليه حاس ، حتاس بقدر 2

(3) م سالبة ، ن موجبة فالعلاقة بين  ل_(م،ن) بـ  ل_{( م + 2، ن – 2 )}  تختزل كل من الأس المرفوع إليه حاس ، حتاس بقدر 2

(4) م سالبة ، ن سالبة فالعلاقة بين  ل_(م،ن) بـ  ل_{( ن + 2 )}  تختزل كل من الأس المرفوع إليه حاس بقدر 2 ولذا يستخدم القانونين على التوالي.

(5) بوضع ن = 0 نحصل على ∫ حا^م س د س

                – حا^م–1س حتاس       م –1

∫ حا^م س د س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــ∫ حا^م–2س د س        وهنا نجد تكامل كثير الاستعمال وهو:

                                 م                       م

    ط

    ـــ

    2

                   م –1

  ∫ حا^م س د س = ــــــــــــــ ∫ حا^م–2س د س           ........ (3)

                              م

   0

بتكرار استخدام القانون (3) مرات متتالية نجد أن:

    ط

    ـــ

    2

                   (م –1)(م –3)(م –5) ...      ط

  ∫ حا^م س د س = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × ـــــ         حيث م عدد زوجي

                           م(م –2)(م –4)(م –6) ...      2

   0

    ط

    ـــ

    2

                  (م –1)(م –3)(م –5) ...

  ∫ حا^م س د س = ـــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ × 1           حيث م عدد فردي

                          م(م –2)(م –4)(م –6) ...          

   0

مثلاً:

    ط

    ـــ

    2

                   (8 –1)(8 –3)(8 –5)(8 –7)        ط      35

  ∫ حا⁸ س د س = ــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × ـــــ = ــــــــــ ط

                                8(8 –2)(8 –4)(8 –6)            2     256

   0

    ط

    ـــ

    2

                  (7 –1)(7 –3)(7 –5)              16  

  ∫ حا⁷ س د س = ــــ ــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــ × 1 = ــــــــ

                          7(7 –2)(7 –4)(7 –6)            35

   0

    ط

    ـــ

    2

                          (2م+1 –1)(2م+1 –3)(2م+1 –5) ... ×2

  ∫ حا^2م+1س د س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                               (2م+1)(2م+1–2)(2م+1–4)(2م+1–6) ... ×3         

   0

                          (2م)(2م –2)(2م –4)(2م – 6) ... ×2

                          = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                                  (2م+1)(2م –1)(2م–3)(2م–5) ... ×3         

                          (2م)(2م –2)(2م –4)(2م – 6) ... ×2 × (2م)(2م –2)(2م –4)(2م – 6) ... ×2

                          = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                                  (2م+1)(2م –1)(2م–3)(2م–5) ... ×3 × (2م)(2م –2)(2م –4)(2م – 6) ... ×2       

                        2^م × م(م –1)(م –2)(م – 3) ... × 1 × 2^م × م(م –1)(م –2)(م – 3) ... × 1

                          = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                               (2م+1)(2م)(2م –1)(2م –2)(2م–3)(2م –4)(2م–5)(2م – 6) ... ×3 ×2 × 1

                       2^م × م! × 2^م × م!

                          = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                                    (2م+1)!

                       ₂^(2م) _×( م!)²

                          = ــــــــــــــــــــــــــــــــ

                                 (2م+1)!