∫ قتامس طتانس د س
الحالة الأولى : ن عدد فردي موجب ، م أي عدد
بوضع قتاس = ع فبالاشتقاق نحصل على – قتاس طتاس د س = د ع
∫ قتامس طتانس د س = –∫ قتام–1س طتان–1س × – قتاس طتاس د س
= –∫ قتام–1س(طتا2س)(ن–1)÷2× – قتاس طتاس د س
= –∫ قتام–1س( قتا2س – 1)(ن–1)÷2 طتانس × – قتاس طتاس د س بالتعويض عن طاس = ع
= –∫ عم–1( ع2 – 1)(ن–1)÷2 د ع
بملاحظة ن عدد فردي فإن ن – 1 عدد زوجي ، (ن –2) ÷2 عدد صحيح وبالتالي يمكن استخدام نظرية ذات الحدين في فك القوس ويكون عندها التكامل بسيط في ع بعدها نستعيض عن ع = قتاس
مثال: أحسب ∫ قتا8س طتا3س د س
الحل: بوضع قتاس = ع فبالاشتقاق نحصل على – قتاس طتاس د س = د ع
∫ قتا8س طتا3س د س = – ∫ قتا7س طتا2س × – قتاس طتاس د س
= – ∫ قتا7س (قتا2س – 1) × – قتاس طتاس د س
= – ∫ (قتا9س – قتا7س) × – قتاس طتاس د س
= –∫ (ع9– ع7 ) د ع
1 1
= – ( ــــــ ع10 – ــــ ع8 ) + ث بالتعويض ع = حتا س
10 8
1 1
= – ـــــــ قتا10س + ـــ قتا8س + ث
10 8
1
= ـــــــ(5 قتا8س – 4 قتا10س ) + ث
40