1                 

 أوجد  ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ  د س    ،  س > 1 ، س > – 5

             س2 + 4س – 5

 

الدالة كسرية ودرجة البسط أقل من درجة المقام، كما أن المقام غير قابل للتحليل نستخدم إكمال المربع أي:

 

  (س2+ 4س +4) – 9 = (س + 2)2 – 9

 

 

              1                                     1                     1           س + 2 – 3                1          س – 1

 ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــ د س = ∫  ـــــــــــــــــــــــــــــــ د س = ــــــــ لـوهـ ـــــــــــــــــــــــــــ + ث  = ــــــ لـوهـ ــــــــــــــــ + ث

    س2 + 4س – 5               ( س + 2)2 – 9           2×3          س + 2 + 3               6           س + 5

تنبيه :  س > 1 ، س > – 5 حتى لا تكون القيمة سالبة مما يجعل اللوغاريتم كمية تخيلية وقد نتجت من:

         (س + 2)2 – 9 > 0 أي (س + 2)2 > 9  وبأخذ الجذور س + 2 > 3 أو س + 2 > – 3  وبالنقل يكون:  س > 1 أو  س > – 5

تنبيه: يمكن تحليل المقام إلى(س + 5)(س – 1) ونحول الكسر لكسور جزئية أي:

 

           1                  ب1           ب2                                                                                                                                                  1                       1

ـــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ + ــــــــــــــ  ومنها 1= ب2(س – 1) + ب1(س + 5)، بوضع س= 1، س= –5 نجد أن: ب1= ــــ ،  ب2 = – ــــ

 س2 + 4س – 5      س – 1     س + 5                                                                                                          6                 6

 

            1                            1                          1                 1                                                        1        س – 1        

∫ ـــــــــــــــــــــــــــــ د س=∫ ــــــــــــــــــــ د س – ∫ ــــــــــــــــــــ د س= ـــ[لـوهـ( س –1) – لـوهـ( س + 5)] + ث = ــ لـوهـ ــــــــــــــ + ث

   س2 + 4س – 5           6( س – 1)             6( س + 5)          6                                                        6        س + 5