درجة هـ(س) أقل من درجة ق(س)، عوامل ق(س) من الدرجة الثانية(لا تحلل لعوامل من الدرجة الأولى) ومختلفة

    ليكن  س² + ب س + حـ أحد العوامل حيث يمكن كتابته على شكل ضرب عاملين تخيليين بالصورة:

    س² + ب س + حـ = [ س – ( ل + ك ت )][  س – ( ل – ك ت )] وهما يناظران كسرين جزئيين هما:

              ب₁                            ب₂           

    ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ ، ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ويكون:

     س – ( ل + ك ت )       س – ( ل – ك ت ) 

              ب₁                            ب₂                       هـ(س)

    ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ     ، هـ(س) من الدرجة الأولى

     س – ( ل + ك ت )       س – ( ل – ك ت )        س² + ب س + حـ

                                                                                                      ل س + ك

وهو ما يعني أن المقام بالصورة أ س² + ب س + حـ يناظره كسر جزئي  ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                                                                                               أ س² + ب س + حـ

مثال ذلك:

                1                       ب₁                 ب₂ س + ب₃      

    ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــــــــــــــــ    وبتوحيد المقامات ومساواة البسط في الطرفين نجد أن:

    ( س+1)( س²+ 1)       ( س + 1)            ( س² + 1)     

1 = ب₁(س² + 1) + ( ب₂ س + ب₃ )( س + 1)

                                                                                 1  

بوضع س = –1 فإن: 1 = ب₁(1 + 1) = 2 ب₁   أي:  ب₁ = ـــــ

                                                                                 2

                                                                                 1  

بمقارنة الثابت في الطرفين فإن: 1 = ب₁ +  ب₃    أي:  ب₃ = ــــ

                                                                                 2

                                                                                          1  

بمقارنة معامل س² في الطرفين فإن: 0 = ب₁ +  ب₂   أي:  ب₂ = – ــــ      بالتعويض والاختصار نجد أن:

                                                                                          2

                1                         1                 1– س

    ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــــــــــ     وهذا يسهل تكامله كما سبق

    ( س+1)( س²+ 1)     2( س + 1)       2( س² + 1)