درجة هـ(س) أقل من درجة ق(س)، عوامل ق(س) من الدرجة الأولى وبعضها مكرر مثل (س + 1)3
نجعل المعامل المكرر = ص ونحسب س بدلالة ص ونعوض في الكسر ومثال ذلك الكسر الآتي:
س2 + 1
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(س –1)( س+ 1)3
نضع س + 1 = ص أي س = ص –1 ، نعوض في الكسر فنحصل على
س2 + 1 (ص –1)2 + 1 1 2 – 2 ص + ص2
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــ ( ــــــــــــــــــــــــــــــــ ) بدأنا البسط والمقام بالثابت وأخرجنا ص3 كعامل مشترك
(س –1)( س+ 1)3 ( ص – 1 – 1) ص3 ص3 –2 + ص
نجري عملية القسمة 2 – 2 ص + ص2 على –2 + ص بدأ بالثابت حتى الوصول لأس العامل المشترك أي 3 من ص3 فنحصل على:
القسمة الأولى (2 – 2 ص + ص2 ) ÷ ( –2 + ص) الناتج –1 والباقي – ص + ص2
ص2 ص2
القسمة الثانية (– ص + ص2 ) ÷ ( –2 + ص) الناتج ــــــــ والباقي ـــــــــ
2 2
ص2 – ص2 ص3 ص3
القسمة الثانية ــــــــ ÷ ( –2 + ص) الناتج ـــــــــــ والباقي ـــــــــ وهو ما نريده أي ــــــــــــــــــــــــــــ فيكون الكسر بالصورة:
2 4 4 4( –2 + ص)
س2 + 1 1 ص ص2 ص3
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــ (–1 + ــــــــ – ـــــــــ + ـــــــــــــــــــــــــ )
(س –1)( س+ 1)3 ص3 2 4 4(–2 + ص)
–1 1 1 1
= ـــــــــــ + ــــــــــــــ – ــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــــــ وباستبدال ص بما تساويه س + 1
ص3 2ص2 4 ص 4(–2 + ص)
–1 1 1 1
= ــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــ – ـــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــ وهذا سهل تكامله لاحظ مشتقة س + 1 هي 1
( س+ 1)3 2( س+ 1)2 4( س+ 1) 4(س –1)
ويستخلص هنا بأن عدد الكسور الجزئية للعامل المكرر تكون بعدد مرات تكراره فهنا س + 1 مكرر 3 مرات يعني 3 كسور، ولهذا يمكن كتابة الكسر بصورة كسور جزئية ثم توحد المقامات ومساواة البسط في أصل الكسر مع البسط الجديد الناتج من توحيد مقامات الكسور الجزئية أي:
س2 + 1 ب1 ب2 ب3 ب4
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــ بتوحيد المقامات ومساواة البسط في الطرفين نجد أن:
(س –1)( س+ 1)3 ( س+ 1)3 ( س+ 1)2 ( س+ 1) (س –1)
س2 + 1 = ب1(س –1) + ب2( س+ 1)(س –1) + ب3( س+ 1)2(س –1) + ب4( س+ 1)3
1
بوضع س = 1 يكون 1 +1 = ب4 × 8 ومنها ب4 = ـــ لاحظ الكسر الأخير سابقاً( قبل الكتابة باللون الأحمر)
4
بوضع س = –1 يكون 1+1= ب1 × –2 ومنها ب1= –1 لاحظ الكسر الأول سابقاً( قبل الكتابة باللون الأحمر)
1
بمساواة معامل س3 يكون 0= ب4 + ب3 ومنها ب3 = – ب4= – ـــــ لاحظ الكسر الثالث سابقاً( قبل الكتابة باللون الأحمر)
4
1
بمساواة الحد المطلق يكون 1= – ب1 – ب2 – ب3 + ب4 ومنها ب2 = ــــ لاحظ الكسر الثاني سابقاً( قبل الكتابة باللون الأحمر)
2
س2 + 1 1 1 1 1
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = – ــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــــــ – ــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــ
(س –1)( س+ 1)3 ( س+ 1)3 2( س+ 1)2 4( س+ 1) 4(س –1)