ل + ك س

   ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  

       ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ

    /\ أس² + ب س + حـ  

نجعل البسط( ل + ك س) ناتج المشتقة الأولى للمقدر تحت الجذر (أس² + ب س + حـ) ومن ثم نقوم بتجزئة الكسر إلى كسرين يسهل تكاملهم حسب القواعد السابق ذكرها حيث نعلم حال كون البسط مشتقة ما بداخل الجذر فناتج التكامل يساوي ضعف الجذر

مثلاً لحساب التكامل الآتي:

              4 – 2 س

  ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ د س

       ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ     

    /\ 4 س² – 8 س – 6    

مشتقة  س² – 8 س – 6 = 8 س – 8

يجب وضع 8 س – 8 بالصورة 3 - 2 س كالتالي:

                                           1                             1                              1 

4 – 2 س = – (2 س – 4) = – ــــ ( 8 س – 16 ) = – ــــ ( 8 س – 8 – 8 ) = ــــ ( 8 س – 8 ) + 2

                                           4                             4                              4

يمكن الآن استبدال البسط في المسألة بما توصلنا إليه ويكون:

                                                   1 

                                                   ـــ ( 8 س – 8 ) + 2

              4 – 2 س                        4                                       1             8 س – 8                                   1   

  ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ د س = ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ د س = ــــ ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ د س +2∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ د س

       ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ                   ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ                       ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ                   ـــــــــــــــــــــــــــــــــ

    /\ 4 س² – 8 س – 6                 /\ 4 س² – 8 س – 6            ²    2/\ 4 س² – 8 س – 6                /\4 س²– 8 س – 6

من الواضح الآن لدينا كسرين الأول بسطه مشتقة ما تحت الجذر والكسر الثاني(بلون أحمر) سبق إيجاده في رابعاً

                                                      ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ                               ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

              4 – 2 س                     1

  ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ د س =  ـــ /\ 4 س² – 8 س – 6  +  لـو_هـ( س – 1 + /\ س²– 2 س –1.5 ) + ث

       ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ          

    /\ 4 س² – 8 س – 6              ² 

                                                     ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ                ــــ          ـــ       ــــــــــــــــــــــــــــــــــ

              4 – 2 س                    1

  ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ د س = ـــ /\ 4 س² – 8 س – 6  +  لـو_هـ(/\2 س – /\2 + /\ 2س²– 4 س –3 ) + ث

       ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ             

    /\ 4 س² – 8 س – 6             ²

يجب ملاحظة الثابت هنا يتضمن لوغاريتم جذر2 كما ورد في رابعاً

  ــــ

 ( ث = ث₁ –  لـو_هـ/\2  ) ث₁ هو ث السابق

تمرين: أحسب التكامل الآتي :

              2 – 3 س

  ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ د س

       ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ     

    /\ 3 س² + 6س + 10    

                   ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ                       ــــ          ــــ      ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                                                     5

( الجواب – /\3 س² +6 س + 10  +  ــــــــ لـو_هـ(/\3 س – /\3 + /\ 3س²+ 6 س + 10 )+ ث

                                                      ـــــ                  +  

                                                   /\3                                    

  ــــ

 ( ث = ث₁ –  لـو_هـ/\3  ) ث₁ هو ث السابق