نستخدم التعويض س = أ قا ص بقصد تحويل كل ما يتعلق بالمتغير س من حدا التكامل(غير موجودين هنا) ، د(س) ، د س أي :
س = أ قا ص بالاشتقاق يكون :
د س = أ قا ص طا ص د ص ← (1)
ــــــــــــــــــ
د(س) = س/\ س2– أ2 بوضع س = أ قا ص نحصل على :
ـــــــــــــــــــــــــ
د(س) = أ قاص/\أ2قا2ص – أ2 بأخذ أ2 كعامل مشترك داخل الجذر ويكون أ خارج الجذر أي:
ـــــــــــــــــــــــ
د(س) = أ2 قاص/\ قا2ص – 1 من قوانين المثلثات نعلم أن قا2ص – 1 = طا2ص وبالتعويض يكون :
ــــــــــــــــ
د(س) = أ2 قاص/\ طا2ص وبإزالة الجذر نحصل على :
د(س) = أ2 قاص طا ص ← (2)
بالتعويض من (1) ، (2) عن د(س) ، د س نحصل على
ــــــــــــــــــ
∫ س/\ س2– أ2 د س = ∫ أ2 قاص طا ص × أ قا ص طا ص د ص بالضرب وإخراج أ3 خارج علامة التكامل لكونه ثابت
= أ3 ∫ طا2ص قا2 ص د ص قا2 ص مشتقة طا2ص
طا3ص
= أ3ـــــــــــــــ + ث
3
س
حيث أن س = أ قا ص فإن قا ص = ــــــ
أ
3 3 3 3
ــــ ــــ ـــ ـــ
س2
حيث أن أ3طا3ص = أ3(طا2ص)2 = أ3( قا2ص – 1)2 = أ3( ــــــ – 1)2 = ( س2– أ2)2
أ2
بالتعويض نحصل على المطلوب
4 ــــــــــــــــــــ
مثال : أحسب ∫ د(س) د س حيث د(س) = س /\ س2– 4
2
بوضع س = 2 قاص ونستعيض عن كل من حدا التكامل س = 2 ، س = 4 ، الدالة د(س) ، د س أي :
س = 2 ← 2 = 2 قا ص ← قا ص = 1 ← ص = 0
ط
س = 4 ← 4 = 2 قا ص ← قا ص = 2 ← ص = ــــ لاحظ ط هي p
3
ــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــ
س /\س2– 4 = 2قاص /\4 قا2ص – 4 = 2قاص/\4( قا2ص –1 ) = 2قاص/\4 طا2ص = 4قاص طاص
س = 2 قاص ← د س = 2 قا ص طاص د ص
بالتعويض يكون :
ط ط ط
ــــ ـــ ــــ
2 3 3 3 ـــ ــــ
∫ د(س) د س = ∫ 4 قا ص طاص × 2 قاص طاص د ص = 8∫ طا2ص قا2ص د ص = (8÷3)[طا3ص] =(8÷3)(3/\3 –0) =8/\3
0 0 0 0
6 س ـــــ
تمرين: أحسب ∫ = ــــــــــــــــــــ ( الجواب 3/\3 )
ـــــــــــــــ
3 /\س2– 9
2
ــــ
3 ــــــــــــــــــ ــــ
تمرين: أحسب ∫ د(س) د س حيث د(س) = س3 /\9س2– 1 ( الجواب 14/\3 ÷ 405)
1
ــ
3