بوضع المطلوب على الصورة :
نستخدم التعويض س = أ حا ص بقصد تحويل كل ما يتعلق بالمتغير س من حدا التكامل(غير موجودين هنا) ، د(س) ، د س أي :
س = أ حا ص بالاشتقاق يكون :
د س = أ حتا ص د ص ← (1)
ــــــــــــــــــ
د(س) = /\ أ2– س2 بوضع س = أ حا ص نحصل على :
ـــــــــــــــــــــــــ
د(س) = /\ أ2– أ2حا2ص بأخذ أ2 كعامل مشترك داخل الجذر ويكون أ خرج الجذر أي:
ـــــــــــــــــــــــ
د(س) = أ /\ 1– حا2ص من قوانين المثلثات نعلم أن 1– حا2ص = حتا2ص وبالتعويض يكون :
ــــــــــــــــ
د(س) = أ /\ حتا2ص وبإزالة الجذر نحصل على :
د(س) = أ حتا ص ← (2)
بالتعويض من (1) ، (2) عن د(س) ، د س نحصل على
ــــــــــــــــــ
∫ /\ أ2– س2 د س = ∫ أ حتا ص × أ حتا ص د ص بالضرب وإخراج أ2 لكونه ثابت
= أ2 ∫ حتا2ص د ص من قوانين المثلثات نضع ما تساويه حتا2ص بدلالة حتا2س
1 1
= أ2 ∫ ــــ(حتا2ص + 1) د س بإخراج الثابت ــــ
2 2
1
= ــــ أ2 ∫ (حتا2ص + 1) د س بإجراء عملية التكامل
2
1 1
= ــــ أ2[ ــــ حا2ص + ص ] + ث ← (3)
2 2
س س
حيث أن س = أ حاص أي أن : حاص = ــــــ أي ص = حا-1 ــــــ
أ أ
ـــــــــــــــــــــــ
حا2ص = 2 حاص حتاص = 2 حاص /\ 1 – حا2ص
ـــــــــــــــــــــــــ
حا2ص = 2 حاص حتاص = 2 (س/ أ) /\ 1 – (س/ أ)2
وبالتعويض عن ص ، حا2ص في (3) نحصل على نتيجة بدلالة س
ـــــــــــــــــ ـــــــــــــــــ
1 أ2 س
∫ /\ أ2– س2 د س = ــــ س/\ أ2– س2 + ــــ حا-1(ــــــ) + ث
2 2 أ
2 2
مثال : أحسب ∫ د(س) د س حيث د(س) = ـــــــــــــــــــــــ
ـــــــــــــــــــ
0 /\4 – س2
بوضع س = 2 حاص ونستعيض عن كل من حدا التكامل س = 0 ، س = 2 ، الدالة د(س) ، د س أي :
س = 0 ← 0 = 2 حا ص ← حا ص = 0 ← ص = 0
ط
س = 2 ← 2 = 2 حا ص ← حا ص = 1 ← ص = ـــــ لاحظ ط هي p
2
ــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــ
/\4– س2 = /\4– 4حا2ص = /\4( 1– حا2ص) = /\4 حتا2ص = 2 حتاص
س = 2 حاص ← د س = 2 حتا ص د ص
بالتعويض يكون :
ط ط ط
ــــ ــــ ــــ
2 2 2 2 2
∫ د(س) د س = ∫ ـــــــــــــــــ ×2حتا ص د ص = ∫ 2 د ص = [2ص] = ط – 0 = ط لاحظ ط هي p
0 0 2 حتا ص 0 0
3 2
تمرين: أحسب ∫ د(س) د س حيث د(س) = ـــــــــــــــــــــــــ ( الجواب p )
ـــــــــــــــــــ
0 /\9 – س2
3
ــــ
8 1
تمرين: أحسب ∫ د(س) د س حيث د(س) = ــــــــــــــــــــــــــــ ( الجواب ط / 24)
ــــــــــــــــــــــ
0 /\9 – 16س2
3
ــــ
2 ـــــــــــــــــــــ
تمرين: أحسب ∫ /\9 – 4 س2 د س ( الجواب 9ط / 8)
0