حل 1)

 نستبدل س - 1 بـ ص، س ¬ 3 فإنّ ص ¬ 3 - 1 = 2

 نهــــــــــــا 4 ق(ص) + نهـــــــــــا س= 4 × 0 + 3 = 0 + 3=3

   ص ¬2                   س ¬ 3

 الاجابة الصحيحة ب)

  حل 2)

  نستبدل 2س بـ ص، س ¬ 1 فإنّ ص ¬ 2 × 1 = 2

  ( نهــــــا هـ(ص))²- 8 نهـــــــا ق(س) = ²8× 1

    ص ¬ 2                س ¬1

  هـ(2) = 6 × 2 - 4 = 12  - 4 = 8

 ) نهــــــا هـ(ص))²- 8 نهـــــــا ق(س) = ²8-8 =64 -8 = 56

    ص ¬2                س ¬1

(الاجابة الصحيحة د)

  حل 3) آخر

 المقياس |4 س + 1|وبوضع س =-2 فإنّ 4×-2+1 = -7

 قيمة سالبة أي|4 س + 1|=-ه4 س -1=-(4 س+1)ه(

                    7 -×-(4 س + 1)   8 + 4 س

 نهـــــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ

   س ¬ -2       2 س³ + 16              2 (س³+ 8)

                   4(2 + س)                            2         

   = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــ

        2(س + 2)(س²- 2س+4)      (-2)²-2×-2+4

       2        1

   =ــــــــ =ــــــــ

       12        6

(الاجابة الصحيحة ج)

    الحــل :

 حــل5):

     النهاية موجودة ¬ النهاية اليمنى = النهاية اليسرى               

  نهـــــــــــــــا (10 + أ س)²⁺ = نهـــــــــــــــا (6 - س)⁺ لكون س سالبة

     س ¬ 2⁺                              س ¬ 2⁺

     ⁽ 10 + 2 أ )² = (6 - 2) = 4

       10 + 2 أ = 2  أو 10 + 2 أ = - 2

         أ = - 4      أو    أ = - 6         (الاجابة الصحيحة ج)

================================

 حــل7):

     ميل المماس عند س = 2 هو ق¢(2) = 5 (حاصل ضرب ميلي مستقيمين متعامدين = -1)

     ق¢(س) = 2 س + ½ هـ¢(س)

     ق¢(2) = 2 × 2 + ½ هـ¢(س) 

       5     = 4 + ½ هـ¢(س) ¬ هـ¢(س) = 2

       قيمة ½ ق¢(2) - هـ¢(2) = ½ × 5 - 2

                                      = ½

      (الاجابة الصحيحة ج)

================================

  الحل:

     ق(س) متصل ¬ النعاية اليمنى = النهاية اليسرى ، النهاية اليسرى = 4

  1                حاأس

  ــ  نهـــــــــا(ــــــــــــ)² = 4 ¬ أ² = 16 ¬ أ = -4 ، 4

  4  س¬0       س    

   (الاجابة الصحيحة أ)

================================

  الحل:

                 س²                         ق(س)×2س - س² ق¢ (س)

  هـ (س) = ــــــــــ ¬  هـ¢ (س) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ... (1)

                ق(س)                                   ق²(س)

   نهـــــــا ق(س) - 2 = 0 ¬ ق(1) = 2 ... (2)

   س ¬ 1

            ق(س) - ق(1)

  نهـــــــا ــــــــــــــــتـــــــ  = 10 ¬ ق¢ (1) = 10 ... (3)

 س ¬1     س  -  1

  نعوض في (1) عن س = 1

                 2 × 2 × 1 - 1 × 10       4 - 10  -6  -3

   هـ¢ (1) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ = ــــــ = ـــــــ

                        ²2                          4           4        2

(الاجابة الصحيحة ج)

================================

  الحل: لـ 13

 (الاجابة الصحيحة أ)

  الحل: لـ 14

   نضيف ونطرح ق(4) في البسط ونوزع كالآتي:

                            ق(4+هـ) - ق(4)                ق(4) - ق(4-هـ)       نستبدل و = -هـ

 المطلوب =   نهــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــ +  نهــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــ

                 هـ ¬ 0          هـ                و¬0          و

            = ق¢(4) + ق¢(4)

            =2 ق¢(4)                  لاحظ ق¢(4) ميل المماس = (3 - 2) / (5 - 3) = ½

            =2 × ½ = 1

 (الاجابة الصحيحة د)

================================

 (الاجابة الصحيحة أ)

================================

  الحل:

    الاتصال: ق(1)⁺ = 1 + 4 = 5

               ق(1)^- = 1 + 2 + 2 = 5       ق متصل عند س = 1 فهو قابل للاشتقاق.

                              2 س + 2    0<س<1

  الاشتقاق: ق¢(1) ={   

                                  4          1<س<2

              ق¢(1)⁺ = 4

              ق¢(1)^- = 2 + 2 = 4  ¬ ق¢(1) = 4

(الاجابة الصحيحة ب)

================================

  الحل:

                    -p                       1-× p

    ق¢(س) = ـــــــــــــــــــــ ¬  ق¢(-1) = ــــــــ

                   (1 - س)²                           4

 (الاجابة الصحيحة د)

================================

  الحل:

      ق^/(س) = ن س^{ن – 1} _،  ق^//(س) = ن(ن – 1) س ^{ن –2} _،   ق^///(س) = ن(ن – 1)(ن – 2) س ^{ن –3}    

     ق^///(س)= جـ س ¬ ن(ن – 1)(ن – 2) س ^{ن –3}  = جـ س  ألأسس متساوية وكذلك المعاملات أي:

   ن - 3 = 1 ¬ ن = 4  ،  جـ = 4(4 - 1)(4 - 2) = 4×3×2 ¬ جـ 24

(الاجابة الصحيحة أ)

  الحل:

         بفرض ق(س) = أ س² + ب س + جـ  قاعدة الاقتران المطلوبة

        ق¢(س) = 2 أ س + ب ... (1)

        ق″(س) = 2 أ ... (2)

 في (2):  ق″(1) = 2 ¬ 2 أ = 2 ¬ أ = 1

 في (1):  ق¢(1) = -3  ¬ 2×1×1 + ب ¬ 2 + ب = -3 ¬ ب = -5

 في الاقتران المطلوبة : ق(1) = 2 ¬ 2 = 1 × 1 + (-5) + جـ ¬1-5+جـ =2 ¬ جـ = 6

 قاعدة الاقتران المطلوبة  هي:  ق(س) = س²-5 س + 6

 (الاجابة الصحيحة ب)

================================

   26) إذا كان جتاس = ص² فإنِّ قيمة ص³(4 ص″ + ص) تساوي:

          أ) -2               ب) صفر          ج) 1            د) -1

  الحل:

     ص²= جتاس بالاشتقاق:

     2 ص ص¢ = - حاس

(الاجابة الصحيحة د)

  الحل:

     ق¢(س) = طا(p¼)

     2 س + 7 = 1 ¬ س = -3

      يالتعويض في معادلة المنحنى:

      ص = ق(-3) = 9 -21 + 1 = -11

      نقطة التماس هي: (-3،-11)

(الاجابة الصحيحة ج)

================================

   الحل:

    ع = 8 - 10ن ... (1)

    ت = - 10       ... (2)

    5 (8 - 10ن) = - 10

     40 - 50ن = - 10

      50ن = 50

       ن = 1 ث

(الاجابة الصحيحة د)

================================

   الحل:

     ح = س³   بفرض س طول ضلع المكعب

     س2 = 81 ¬ س = 9 سم

   نشتق ح بالنسبة للزمن:

     ح¢ = 3 س² س¢  ... (1)

   -24 = 3×81× س¢ ¬ س¢ = -8÷81

        م = 6 س²  

   نشتق:

    م¢ (معدل تغير المساحة المطلوبة) = 12 س س¢

                                    = 12×9×(-8÷81)                                        

(الاجابة الصحيحة ب)    

================================

   واضح من الشكل وجود قيمة صغرى محلية ومطلقة عند p

(الاجابة الصحيحة ج)

================================

 بالاشتقاق للبسط، المقام

================================  

  حل آخر: بإضافة ±9جتاpس للبسط والتجزئة كالتالي:

================================  

 السؤال الثاني:ــ

   نعرف | س - 10 | = 0 ¬ س = 10 ، سالبة قي الفترة [3 ، 4] أي | س-10|= 10-س ، [(س+1)/2] = 2

عند س = 4: ق(4) =... (1)

                                ^{(س - 4)(س + 4)}                  

        ^{نهـــــــــــا ق(س)+} = ـــــــــــــــــــــــــــــــ = 8/4 = 2  ... (2)

        ^{س ¬ 4                    4(س - 4)}

        ^{نهـــــــــــا ق(س)-} =  ... (3)

        ^{س ¬ 4}              

   من (1) ، (2) ، (3) ق متصل عند س = 4

عند س = 3: ق(3) =... (4)

     ^{نهـــــــــــا ق(س)} =  ... (5)

        س ¬ 3+              

  من (4) ، (5)  ق متصل عند س = 3 من اليمين

  ق متصل على مجاله [ 3 ، 6[

================================  

السؤال الثاني:ــ

    الحـل:

                                ق(ع) - ق(1)       

   ق¢(1) = نهــــــــــــا ــــــــــــــــــــــــــ

                 س¬1       ع - 1

================================

 4) إذا كان ق اقتران كثير حدود باقي قسمته على (س - 6) يساوي  2 أ ،

           أ) -4        ب) -8         ج) 7         د) 14

 الحل:

      باقي قسمة ق على (س - 6) يساوي 2 أ ¬ ق(6) = 2 أ

     نهـــــــــا (½ ق(س) + 3/2 س ) = 5

     س¬6    

      ¬½× 2 أ + 3/2×6 = 5  

     أ + 9 = 5 ¬ أ = -4                                                    

(الاجابة الصحيحة أ)

================================

                                                           12

  6) إذا كان ق اقتران كثير حدود يمر منحناه بنقطة تقاطع المستقيمين ص=ـــــ س، ص=4س-8،

                                                                                        5    

        وكانت نهــــــــــا ل(س) = -2 ، فإنَّ نهــــــــــا (2ق(2س+1)-3 ل²(س))تساوي:

                س ¬2                           س ¬2

       أ) 6                ب) 12                 ج) 18                    د) 36 

 الحل:

    نوجد نقطة التقاطع: َ

   4 س-8=12س/5 بالضرب في 5 فإنّ 20س-40=12س ¬8س=40 أي س=5

      نعوض لمعرفة ص ، ص = (12÷5)×5 = 12 أي نقطة التقاطع (5 ، 12)

      استبدال: 2 س + 1 = ص ،  س ¬2 فإنَّ ص ¬ 5

      نهــــــــــا (2ق(2 س + 1) - 3 ل²(س)) = نهــــــــــا (2 ق(ص) - 3 ل²(س) )

       س ¬2                              س ¬2       ص ¬5                      س ¬2

      = 2 × 12 - 3 × (-2)² = 24 - 3 × 4 = 24 - 12 = 12 

(الاجابة الصحيحة ب)

================================

  الحل:

      1 × أ      2                                      

    ــــــــــــ = ـــــ ¬ أ = 8                                                 (الاجابة الصحيحة أ)  

     5 × 4       5

  الحل:

      ق(س) متصل ¬ النهاية اليمنى = النهاية اليسرى

(الاجابة الصحيحة ب)

================================

  الحل:

 الاجابة الصحيحة ب)

================================

================================

  الحل:

    المماس للمنحنى يعني المشتثة تساوي صفر

    ق¢(س) = - حاس - ½ = 0

     حاس = - ½ الزاوية س في الربع الثالث

       س = p/6 سالبة تعني في الربع الثالث

       س = p/6 + p

  (الاجابة الصحيحة ب)

================================

  الحل:

    -2 لا تنتمي للفترة (-2 ، 2) فإنَّ: ق¢(-2) غير موجودة.

(الاجابة الصحيحة د)

================================

  الحل:

    من الشكل المشتقة عند 3 غير موجودة.

(الاجابة الصحيحة د) 

================================

  الحل:

  ق + هـ                هـ(1) ((ق¢(1) + هـ¢(1)) - ((ق(1) +هـ(1))× هـ¢(1)

(ــــــــــــ)¢(1)= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

      هـ                                                       (هـ(1))²

                         -1 (2+(-6))-(2+(-1))×-6)        -1 (-4)-(1)×-6)

                    = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                                                             (-1)^{2                                            1}

                    = 4 + 6 = 10

  (الاجابة الصحيحة ب)

================================

  الحل:

      ق¢(س) = جا²س × (- حاس) + 2 جاس جتاس × حتاس = -جا³س + 2 جاس جتا²س

   (الاجابة الصحيحة ج)

================================

  25) إذا كان ق ، هـ اقترانين قابلين للاشتقاق ، وكان هـ(2) = -½ ، ق¢(-½) = -½ ،

       هـ¢(2) = -¼ ، فإن (ق o هـ)¢(2) تساوي:

         ا) ⅛                     ب) -⅛                     ج) -¼               د) ¼

  الحل:

   (ق o هـ)¢(2) = ق¢(هـ(2))هـ¢(2)

                     = ق¢(-½)×-¼

                     = -½×-¼

                     = ⅛

(الاجابة الصحيحة آ)

================================

(الاجابة الصحيحة ب)

================================

    الحل: 

    عند الطرفين المشتقة غير موجودة.

     ق¢(س)> 0 ¬ المنحنى متزايد ،    ق″(س)< 0 ¬ المنحنى مقعر لأسفل ،

     هـ ، ن أطراف فالمشتقة غير موجودة والمماس عند م أفقي فالمشتقة تساوي صفر م مرفوضة

      عمد ل المماس ميله سالب  ق¢(س)< 0 ل مرفوضه عند و المماس ميله موجب ق¢(س)> 0

     والمشتقة الثانية ق″(س)< 0 وتقعر المنحنى لأسفل فالجواب هو "و"

(الاجابة الصحيحة د)

   الحل:

     مساحة المستطيل (م) = س ص ، ص = ق(س) = س^½ + 5

                م = س(س^½ + 5) = س^3/2 + 5 س

               م¢ = 3/2 س^½ × دس/دن + 5 دس/دن   معدل التغير في المساحة

   س = 4      = 3/2 ×2 × 3 + 5 ×3

                   = 9 + 15

                   = 24 سم²/د

(الاجابة الصحيحة أ)

================================

    الحل:

    ق¢(س) = 2 حاس جتاس ¬ ق¢(س) = 0  ¬ حا س جتاس = 0

    حاس = 0 ¬ س = 0 أو س = p

    جتاس = 0 ¬ س = ½p أو س = p3/2

إشارة ق¢(س)

(الاجابة الصحيحة ج)

================================    

   الحل:ـ

    ق¢(س) = 2 حاس جتاس = حا2س

  ق″(س) = 2 جتا2س

 ق″(س) = 0

  جتا2س = 0

التقعر للآسفل يعني:

جتا2س < 0 وهي في

الغترات التالية:

(الاجابة الصحيحة أ)

================================  

                  3 - س                   -1                        -4 س

      ص = ــــــــــــــــــ ¬ ص¢ = ــــــــ ، ق¢(س) = ـــــــــــــــــــــــ

                     4                        4                     (س² + جـ)²

       المستقيم يمس المنحنى ¬ ص = ق(س) ، ص¢ = ق¢(س) أي:                 

           3 - س             2                  -1           -4 س

      ــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ     ،      ــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ

             4           س² + جـ                4        (س² + جـ)²                      

                                8                                        

      س² + جـ  = ــــــــــــــــ   ... (1)   ،      (س² + جـ)² = 16س ... (2)

                           3 - س                                        

        من (1) في (2): والتعويض

                                 64                                      

                      ـــــــــــــــــــــــــــ = 16س ¬ 9 س - 6 س²+ س³ = 4

                      9 - 6 س + س² 

     س - 6 س²+ س³- 4=0

  (س - 1)(س² - 5 س + 4) = 0 ¬ (س - 1) (س - 1) (س - 4) =0

                                                    س = 1 ، س = 4

      في (1) عن س = 1 : 1 + جـ = 4 ¬ جـ = 3

     في (1) عن س = 4 : 16 + جـ = -8 ¬ جـ = -24 مرفوض لأن جـ > 0

    أو: نقطة الانعطاف تعني ق″(س) = 0

                        -4 س

   ق¢(س) =  ــــــــــــــــــــــــ  

                   (س² + جـ)² 

                   (س² + جـ)²×-4+4 س× 2(س² + جـ)×2س  

   ق″(س) =  ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ   

                                  (س² + جـ)⁴

                    -4(س² + جـ)²+8س²(س² + جـ)

   ق″(س) =  ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 

                                  (س² + جـ)⁴

                     -4 (س² + جـ)+8 س²

   ق″(س) =  ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = 0 ¬ -4 (س² + جـ)+8 س²= 0

                             (س² + جـ)³

                 س² + جـ = 2 س²  ¬جـ = 3س²

   في (2):  (س² +  3س² )² = 16س ¬ 16 س⁴= 16س

    16 س⁴- 16س = 0 ¬ 16س(س³ -1) 0 ¬ س= 1 أو س = 0 مرفوض لأن س > 0

     س= 1 فإن جـ = 3

================================

        س = 0 تهمل ، س = 2/3 ¬ ص = 3 × 2/3 = 2 ¬ أ = (2/3،2)

     فالنقطة أ(2،2/3) ويكون ميل أ ب = (1-2)/(1-2/3) = 1/(-1/3) = -3 الذي يجعل             مساحة المثلث ا ب جـ أقل ما يمكن، ولتحديد القيمة الصغرى فمن م¢ نحدد الإشارة كما مبين بالشكل

    التالي: (ضع س = 1 (م¢+)، س = 1/3 (م¢-)

================================