السؤال الأول: (30 علامة)

    يتكون هذا السؤال من (20) فقرة من نوع اختيار من متعدد، من أربعة بدائل، اختر رمز الإجابة الصحيحة. ثم ضع إشارة (x) في المكان المخصص في دفتر الإجابة:

        أ)  ½-          ب) ½             ج) 1-             د) 1   

    الحل:ـ

            نستخدم القاعدة:ـ

 باشتقاق البسط والمقام حتى نحصل على قيمة تنتمي لمجموعة الاعداد الحقيقية.  

 (فالإجابة الصحيحة هي ب)

فما قيمة ق’(2)؟

1. إذا كان :

        أ) 8                    ب)                     ج) 12                     د) غير موجودة

      الحل:ـ

            الدالة ق(س) متصلة حيث نهاية ق(س) عندما س تؤول إلى 2:

            ق(2) = 2 × 4 + 4

                   = 12 ، 

           ق(2) = 6× 2

                  = 12     فالدالة متصلة فهي قابلة للاشتقاق.

            ق’(س) = 2 × 2س

                     = 4 س

            ق’(2) = 4 × 2

                    = 8      

    (فالإجابة الصحيحة هي أ)

    4. إذا كان ص = هـ ^أس ، وكان ص″+ 3 ص¢= 10 ص . فما هي قيم أ ؟

      أ)  2 ، 5              ب) -2 ، 5              ج) 2 ، -5              د) -5 ، -2

    الحل:ـ

       ص¢= أهـ^أس

       ص″ = أ²هـ^أس

       ص″+ 3 ص¢= 10ص وبالتعويض:

      أ²هـ^أس + 3أ هـ^أس = 10هـ^أس (بالقسمة على هـ^أس ≠ 0) 

                                                   ←  أ² + 3 أ = 10 

                                                   ←  أ² + 3 أ - 10 = 0

                                                   ←  ( أ + 5)( أ -2) = 0

                                         ←  أ = 2 ، أ = -5

 (فالإجابة الصحيحة هي ج)

        أ)  3هـ                      ب) ⅓هـ                       ج) 3/هـ                       د) 3

    الحل:ـ

            ص^̷ (س) = س² × (1/س) + 2 س × لـو_هـ س

            ص^̷ (هـ) = هـ² × (1/هـ) + 2 هـ × لـو_هـ هـ

            ص^̷ (هـ) = هـ + 2 هـ × 1

                      = 2هـ + هـ

                      = 3هـ

(فالإجابة الصحيحة هي ج)

  6. قذف جسم رأسياً للأعلى وكان ارتفاعه ف بالأقدام بعد ن ثانية معطى بالمعادلة:

      ف(ن) = 9 ن - 16 ن². فما الزمن الذي يحتاجه الجسم وهو صاعد لتكون

      سرعته ⅓ سرعته التي قذف بها؟

        أ) 2                   ب) 1                       ج) 3                      د) 1.5

    الحل:ـ

            ف(ن) = ع_. ن + ½ ن²  حيث ف(ن) = 96 ن - 16 ن² فإنَّ:

           ع = ⅓ ع_. =⅓ × 96 = 32 وتساوي فˉ(ن).

            فˉ(ن) = 96 - 32 ن

            32 = 96 - 32 ن

             32 ن = 96 -32 = 64

    32 ن = 64

     ن = 2

 (فالإجابة الصحيحة هي أ)

    5. إذا كان المستقيم ص = 9/2 - ½س عمودياً على منحنى ق(س) = أ س²-4 س + 5.

        عند س = 1. فما قيمة أ؟

        أ) -1                    ب) 7/4                        ج) - ½                       د) 3

    الحل:ـ

           ميل المستقيم (ص + ½ س - 9/2 =0)= - معامل س ÷ معامل ص

                                                             = - (½) ÷ 1

   = -½

        ميل العمودي = 2 (حاصل ضرب ميلي المستقيمين المتعامدين يساوي -1) ويساوي ق^/ (س)

        2 أ × 1 - 4 = 2

        2 أ = 6 ← أ = 3

 (فالإجابة الصحيحة هي د)

     8. إذا كان س²- س ص + ص²= 3 فما قيمة دص/دس عند النقطة (1 ، -1)؟

        أ) -2                    ب) -1                        ج) 1                       د) 2

    الحل:ـ

            بالاشتقاق والتعويض بالنقطة:

            2 س - س صˉ - ص + 2 ص صˉ = 0     المشتقة

            2 - صˉ + 1 - 2 صˉ = 0                  التعويض

            3 - 3صˉ = 0

            صˉ = 1 (دص/دس = 1)

 (فالإجابة الصحيحة هي ج)

7. إذا كان ق(س)= س³، هـ (س) ب/(2س -1): س≠ ½، ب>0، وكان(قˉOهـ)ˉ(1)=-48

     فما قيمة الثابت ب؟

        أ) 2                    ب) 4                        ج) 8                       د) 16

    الحل:ـ

         ق(س) = س³  ← قˉ(س) = 3 س² ← ق"(س) = 6 س

           هـ (س) = ب / (2س -1) ← هـˉ(س) = -2 ب / (2س -1)²

           هـ(1) = ب ، هـˉ(1) = -2 ب

           ( قˉOهـ)ˉ(1) = -48 ← ( قˉ(هـ))ˉ(1) = -48

        (ق"هـ(1))×هـˉ(1) = -48

         6 ب × -2 ب = -48 ← ب² = 4 ← ب = 2

 (فالإجابة الصحيحة هي أ)

 10. إذا كان ق(س) = س²- 32 لـو_هـ(س)  . فما عدد القيم الحرجة للاقتران ق(س) على مجاله؟

        أ) صفر                    ب) 1                        ج) 2                       د) 3

   الحل:ـ س ≠ صفر فمجال ق(س) هو س > صفر

            البسط = صفر

      2س² - 32 = . ← 2س² = 32 ← س² = 16 ← س = ± 4

       س=-4 لا تنتمي للمجال (س > .) ، س = 4 توجد نقطة حرجة واحدة.

 (فالإجابة الصحيحة هي ب)

        أ) 1                    ب) -1                        ج) 2                       د) -2

    الحل:ـ

      بتحليل المقدار الثلاثي " س² - 5 س + 6 = (س -2)(س - 3)

      والاختصار نحصل على ق(س) = (س -2)(س+ك)

      ق(س) = س² + س ك - 2س - 2ك

      وحيث س ≠ 3 ، جـ = . < 3

      وعليه أ ، ب < 3 أي س < 3

      قˉ(س) = 2 س +ك -2

      قˉ(0) =0

      ك -2 = 0 ←  ك = 2

 (فالإجابة الصحيحة هي ج)

 12.ما قيمة/قيم س التي يكون عندها للاقتران ق(س) قيمة صغرى محلية؟

        أ) 1                    ب) 2                        ج) 3                       د) 1 ، 3

الحل:ـ      إشارة قˉ(س): كما مبينة في الشكل تغيرت من موجب لسالب عند س = 3 وعليه توجد عند س = 3 قيمة صغرى محلية  لا داعي للنقطة س=1 لا تحقق المطلوب لكن عندها عظمى محلية). (فالإجابة الصحيحة هي ج)

14. إذا كان لمنحنى الاقتران ق(س)=حاس+أس² نقطة انعطاف عند س=p/6 

      فما قيمة أ؟

       أ) 1                    ب) -1                        ج) -¼                       د) ¼

    الحل:ـ

        قˉ(س) = حتاس + 2 أ س

         نقطة انعطاف تعني ق"(p/6) = صفر

        ق"(س) = - حاس + 2 أ

    نضع س = p/6

       صفر = - ½ + 2 أ 

      2 أ = ½ ← أ = ¼

 (الإجابة الصحيحة هي د)

       أ) .                    ب) ½p                        ج) p                       د) لا توجد زاوية انعطاف

   الحل:ـ

   قˉ(س) = ⅓(6 - 2س)^-3/2×-2 = (-3/2)(6 - 2س)^-3/2

   ق"(س) = (-3/2)(-3/2)(6-2س)^-3/5×-2 =9/4(6 -2س)^-3/5 ×-2

             = (-9/8)(6 -2س)^-3/5

  ق"(س) =صفر عند س=3←النفطة (3،ق(3) )=(3،3) نقطة انعطاف، قˉ(س)=¥ عند س=3

  فالمماس يوازي محور الصادات أي زاوية ميله 90^ه = ½p وعليه تكون:

 (الإجابة الصحيحة هي ب)

16. إذا كان متوسط التغير للاقتران ق(س) = س + لـو_هـ س^ن حيث  س > ^.

      عندما تتغير س من 1 إلى هـ يساوي (2-هـ)÷(1-هـ) فما قيمة ن؟

       أ) -1               ب) 1                   ج) -3                  د) 2هـ -3

  الحل:ـ

     ق(1) = 1 + لـو_هـ 1 = 1+ ^. = 1

     ق(س) = س + لـو_هـ س^ن ← ق(هـ) = هـ + ن لـو_هـهـ = هـ + ن

      ق(هـ) = هـ + ن ← متوسط  التغير للاقتران = (هـ + ن - 1)/(هـ -1)

       (2-هـ)÷(1-هـ) = -(هـ + ن - 1)/(1 -هـ) ← 2-هـ = هـ + ن - 1     

       ن = 2 هـ - 3

 (الإجابة الصحيحة هي د)

        أ) ق(س) متزايد على ح           ب) ق(س)متزايد على ]-¥،-1[ وعلى ]-1،¥] 

     ج) ق(س) متناقص على ح          د) ق(س)متناقص على ]-¥،-1[ وعلى ]-1،¥]

  الحل:ـ

 قˉ(س) = [المقام × مشتقة البسط - البسط × مشتقة المقام]/[مربع المقام]

ق(س)متزايد على ]-¥،-1[ وعلى ]-1،¥] 

 (الإجابة الصحيحة هي ب)

 18. إذا كان ق²(/\س +1) = 5 س²- 1 ، فما قيمة قˉ(2) . علماً بانّ ق > ^.؟

      أ) 5                    ب) 10/\2                        ج) 2/5                       د) 10

   الحل:ـ

      /\س +1= 2 ← /\س = 1 ← س = 1

 (الإجابة الصحيحة هي أ)

أو (17) 

ص=حتا2ن←دص/دن =-2حا2ن=-4حان حتان

س=حان←دس/دن=حتان←=-دن/دس=1/حتان

دص/دس =(دص/دن)×(دن/دس)

           = -4حان حتان × 1/حتان

              = -4 حان = -4 س

 (الإجابة الصحيحة هي د)

             أو (18)

 (الإجابة الصحيحة هي أ)

 17. إذا كان ص=حتا2ن ، س = حان. أوجد دص/دس؟  

  أ) -4 حاس         ب)  4 حاس  

 ج) 4 ن               د)-4 س  

   الحل:ـ

     ص = حتا2ن = 1 - 2 حا²ن

                     = 1 - 2 س²  

      دص/دس = -4 س                 

 (الإجابة الصحيحة هي د)

 20. إذا كان قˉ(س)=18-6س-حا2س، فأي من الخصائص التالية تتحقق في منحنى ق(س) "س ' ح؟

      أ) متزايد           ب) متناقص          ج)مقعر للأسقل          د) مقعر للأعلى

    الحل:ـ

      قˉ(س) = 18 - 6 س - حا2س

     ق"(س) = - 6 - 2حتا2س

     لكن:  -³1 حتا2س ³ 1  بالضرب في 2

            -³2 2حتا2س ³ 2  بالضرب في -1

            2 £ -2حتا2س £ -2  نضيف -6

          -4 £ -6 -2حتا2س £ -8

            -4 £ ق"(س) £ -8

           ق"(س) سالب دوماً أي

           ق"(س) < صفر على ح

           فالمنحنى مقعر للأسفل على ح.

 (الإجابة الصحيحة هي ج)

 19. إذا كان ق(س) =[2س + 1.6](5س - 1)^{2 .} فما قيمةق(0.2)؟

  أ) صفر                    ب) 2                       ج)10                      د) غير موجودة

   الحل:ـ

 (الإجابة الصحيحة هي أ)

السؤال الثالث:

السؤال الثالث: (20 علامة)

أ). أوجد معادلة المماس لمنحنى ص = لـو_هـ(2 - حتاس) عند النقطة الواقعة عليه واحداثيها السيني π/4         (علامات 6)

  الحل:     

  تكملة:

(3) حساب زوايا الانعطاف:

السؤال الثالث:

ج). إذا كان ق(س) = -½ حا²س + ¼ حتا2س + 5/4 ، س ']0 ، π[، أوجد:        (9 علامات)

       1) مجالان التقعر للأعلى وللأسفل للاقتران         2) نقطة/نقاط الانعطاف            3) زاوية/زوايا الانعطاف 

  الحل:

    ق(س) متصل لكونه مكون من اقترنات متصلة على ]• ، π[ (دائرية وثوابت)

    ق^̷ (س) = -½×2حاس حتاس - 2× ¼ × 2حا2س

             = -½حا2س - ½حا2س = - حا2س

 ق^{̷ ̷} (س) = - 2 جتا2س

 ق^{̷ ̷} (س) = • ¬ - 2 جتا2س = •  ¬ 2س = π/2 أو 2س = π/2

  س = π/4 ،  س = 3π/4 ، س ' ]• ، π[

(1) تحديد اشارة المشتقة الثانية للدالة وسلوكها: