2) باستخدام مبدأ الاستقراء الرياضي أثبت صحة العبارة الآتية لكل ن ' ص⁺

                                                         ن( 5ن – 1)

        2 + 7 + 12 + ... + (5ن – 3) = ــــــــــــــــــــــــ

                                                                2

الحـــل:

بوضع ن = 1

الطرف الأيمن = 2 (الحد الأول أو بوضع ن = 1 في الأيسر  أو بوضع ن = 1 في الحد النوني(الأخير 5×1 –  3 = 2)

الطرف الأيسر = 1(5–1)/2 = 4/2 = 2

الطرفان متساويان ، أي أن العبارة صحيحة في حالة ن = 1    ........ (1)

بفرض  ن = ر صحيحة أي أن:

                                                         ر( 5ر – 1)

        2 + 7 + 12 + ... + (5ر – 3) = ــــــــــــــــــــــــ    ........... (2)

                                                                2

المطلوب إثباته هو:

                                                                               (ر + 1)[5(ر + 1) – 1]

        2 + 7 + 12 + ... + (5ر – 3) + [5(ر+1) – 3] = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ   من (2) ر+1 بدل من ر

                                                                                              2

بإضافة ح_ر+1 لطرفي المساواة (2) لكونها صحيحة بالفرض حيث أن ح_ر+1=5(ر+1) –3 = 5ر+5 –3 = 5ر + 2

                                                                       ر( 5ر – 1)

        2 + 7 + 12 + ... + (5ر – 3) +  (5ر+2)= ــــــــــــــــــــــــ +  (5ر + 2)

                                                                             2

                                                                            ر( 5ر – 1 ) + 10ر + 4

                                                                        = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                                                                                            2

                                                                            5ر² – ر + 10ر + 4

                                                                        = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                                                                                            2

                                                                            5ر² + 9ر + 4

                                                                        = ــــــــــــــــــــــــــــــ

                                                                                    2

                                                                            (ر + 1)(5ر + 4)

                                                                        = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ

                                                                                      2 

                                                                            (ر + 1)(5ر + 5 – 1)

                                                                        = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                                                                                        2

                                                                            (ر + 1)[5(ر + 1) – 1]

                                                                        = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                                                                                        2

إذن العبارة صحيحة في حالة ن = ر + 1 ............... (3) 

من (1) ،  (2) ، (3) تكون العبارة صحيحة