1) باستخدام مبدأ الاستقراء الرياضي أثبت صحة العبارة الآتية لكل ن ' ص⁺

                                           ن( ن + 1)

        1 + 2 + 3 + ... + ن = ــــــــــــــــــــــــ

                                                2

هذه المساواة والمكونة من طرفين الأيمن " مجموعة من الحدود " والأيسر قيمة تمثل مجموع حدود الطرف الأيمن

ح₁ = 1 ، ح₂ = 2 ، .... ، ح_ن = ن

بوضع ن = 1 في الطرف الأيسر نحصل على 1 وهو الحد الأول

بوضع ن = 2 في الطرف الأيسر نحصل على  3 وهو مجموع الحدين الأول والثاني

بوضع ن = 3 في الطرف الأيسر نحصل على 6 وهو مجموع الحدود الثلاثة الأولى

وعليه يكون التعويض عن قيمة ن بعدد ما تعني أحد حدود الطرف الأيمن في حين التعويض في الطرف الأيسر تمثل قيمة

 مجموع عدد من الحدود بقيمة ن فلو كانت ن = 4 يعني الحد الرابع في الطرف الأيمن في حين ناتج التعويض عنها في الطرف

الأيسر فالقيمة هي ناتج جمع الأربع حدود الأولى من الطرف الأيمن

لإثبات صحة العبارة نتبع الآتي:

1) نتأكد صحتها عند ن = 1

2) إذا كانت العبارة صحيحة في حالة ن = ر فإنها صحيحة في حالة ن = ر + 1

بوضع ن = 1

الطرف الأيمن = 1 (الحد الأول أو بوضع ن = 1 في الأيسر)

الطرف الأيسر = 1(1+1)/2 = 2/2 = 1

الطرفان متساويان ، أي أن العبارة صحيحة في حالة ن = 1 ونكتب ذلك اختصاراً  ق(1) صحيحة   ........ (1)

بفرض  ن = ر صحيحة أي أن:

                                           ر( ر + 1)

        1 + 2 + 3 + ... + ر = ــــــــــــــــــــــــ    ........... (2)    عبارة صحيحة

                                                2

المطلوب إثباته هو:

                                                         (ر + 1)[( ر + 1) + 1]

        1 + 2 + 3 + ... + ر + (ر + 1) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ   من وضع ر + 1 بدل ر في (2)

                                                                      2

يلاحظ هنا زيادة حداً هو ر + 1 أي ح_ر+1 في الطرف الأيمن وجعل ر في الأيسر ر + 1

بإضافة ح_ر+1 لطرفي المساواة  .... (2) لكونها صحيحة بالفرض حيث أن ح_ر+1 = ر + 1

                                                          ر( ر + 1)

        1 + 2 + 3 + ... + ر  + (ر + 1)= ـــــــــــــــــــــــ  + (ر + 1)   وهي صحيحة أيضاً

                                                                2

                                                          ر( ر + 1)         2(ر + 1)    

                                                     = ــــــــــــــــــــــــ  + ـــــــــــــــــــ  بالضرب في 2 والقسمة على 2 للحد الثاني

                                                                2                  2

                                                          ر( ر + 1) + 2(ر + 1)    

                                                     = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ      (ر + 1) عامل مشترك والجمع

                                                                        2      

                                                         ( ر + 1)[ر + 2]

                                                     = ـــــــــــــــــــــــــــــــ               ر + 2 = (ر + 1) + 1

                                                                   2 

                                                         ( ر + 1)[(ر + 1) + 1]

                                                     = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  لاحظ ر+1مكان ر في الطرف الأيسر من (2)

                                                                        2      

إذن العبارة صحيحة في حالة ن = ر + 1  أو  ق(ر + 1) صحيحة    ......... (3)

من (1) ،  (2) ، (3) تكون العبارة صحيح