حاأ + حاب + حاحـ =0 بالضرب × 2حتاأ نحصل على:
2حاأ حتاأ + 2حاب حتاأ + 2حاحـ حتاأ = 0
حا2أ + 2حاب حتاأ + 2حاحـ حتاأ = 0 ----(1)
حاأ + حاب + حاحـ =0 بالضرب × 2حتاب نحصل على:
2حاأ حتاب + 2حاب حتاب + 2 حاحـ حتاب = 0
2حاأ حتاب + حا2ب + 2 حاحـ حتاب = 0 ----(2)
حاأ + حاب + حاحـ =0 بالضرب × 2حتاحـ نحصل على:
2حاأ حتاحـ + 2حاب حتاحـ + 2حاحـ حتاحـ = 0
2حاأ حتاحـ + 2حاب حتاحـ + حا2حـ = 0-----(3)
بجمع (1) ، (2) ، (3) مع ملاحظة أ + ب + حـ =180 ، أ +ب = 180 – حـ ، حا(أ + ب) = حاحـ وبالمثل للأخرى
حا2أ + حا2ب + حا2حـ + 2حاب حتاأ + 2حاحـ حتاأ + 2حاأ حتاب + 2 حاحـ حتاب + 2حاأ حتاحـ + 2حاب حتاحـ = 0
حا2أ + حا2ب + حا2حـ + 2(حاب حتاأ + حاأ حتاب) + 2(حاأ حتاحـ + حاحـ حتاأ) + 2(حاب حتاحـ + حاحـ حتاب) = 0
حا2أ + حا2ب + حا2حـ + 2حا(أ + ب) + 2حا(أ+ حـ ) + 2حا(ب + حـ) = 0
حا2أ + حا2ب + حا2حـ + 2حاحـ + 2حاب + 2حاأ = 0
حا2أ + حا2ب + حا2حـ + 2(حاأ + حاب + حاحـ) = 0
حا2أ + حا2ب + حا2حـ + 2×صفر = 0
لإثبات أن حتا2أ + حتا2ب + حتا2حـ = 0
لنضرب حاأ+ حاب + حاحـ =0 × حاأ ثم حاب ثم حاحـ وكذلك ضرب حتاأ + حتاب + حتاحـ =0 × حتاأ ثم حتاب ،حتاحـ
نحصل على المعادلات الست الاتية:
حا2أ + حاأ حاب + حاأ حاحـ = 0 ----(1) --------- حتا2أ + حتاأ حتاب + حتاأ حتاحـ = 0 ---(2)
حاأ حاب + حا2ب + حاحـ حاب = 0 --(3) -------- حتاأ حتاب + حتا2ب + حتاحـ حتاب = 0 ---(4)
حاأ حاحـ + حاب حاحـ + حا2حـ = 0 ---(5)----- حتاأ حتاحـ + حتاب حتاحـ + حتا2حـ = 0---(6)
حتا2أ ـ حا2أ + حتاأ حتاب ـ حاأ حاب + حتاأ حتاحـ ـ حاأ حاحـ = 0
حتا2أ ـ حا2أ + حتا(أ+ب) + حتا(أ + حـ) =0
حتا2أ - حتاحـ - حتاب =0 وبالمثل ---------------(7)
حتا2ب - حتاأ - حتاحـ = 0 من طرح (3) من (4) -----(8)
حتا2حـ - حتاأ - حتاب = 0 من طرح (5) من (6) -----(9)
بجمع (7)، (8)، (9) مع ملاحظة أ + ب + حـ = 180 ، أ + ب = 180 – حـ ، حتا(أ + ب) = - حتاحـ وبالمثل للأخرى
حتا2أ + حتا2ب + حتا2حـ - 2حتاأ - 2 حتاب - 2حتاحـ =0
حتا2أ + حتا2ب + حتا2حـ - 2(حتاأ + حتاب + حتاحـ ) = 0
حتا2أ + حتا2ب + حتا2حـ - 2 × صفر = 0
حتا2أ + حتا2ب + حتا2حـ = 0 تنبيه: يمكن (جتاأ + جتاب + حتاحـ)2 ـ (حاأ + حاب + حاحـ)2 ونكمل الحل