النسبة التقريبية ط

للأستاذ أحمد العرادي

        منذ القِدَمْ ، لاحظ الإنسان أنّ النسبة بين محيط الدائرة و قطرها ثابتة دائماً ،  فكان المزارع إذا ما ضاعف قطر الحقل الدائري الذي سيزرعه ، فهذا يعني أنه سيضاعف محيط السياج الذي سيضعه للحقل ، وهي النسبة التي اصطلحنا عليها اسم p فقلنا p = المحيط : القطر

        بمعنىً آخر ، إذا كان لدينا دائرة قطرها وِحْدَةٌ واحدة ، فإن محيطها سيكون   p وحدة . و النسبة p عندما تسأل أي طالب في المرحلة الإعدادية عن قيمتها ، فإنه سيجيبك مرتجلاً بأنها تساوي  أو  3.14 تقريباً ، و لكن من تَعَرَّفَ على  p عن كثب ، يعلم بأن هذا العدد عدد غير نسبي  ، و أن ما تَلَقَّاهُ الطالب من تَلْقين ما هي إلا نسبة تقريبية لا أكثر و لا أقل .

ولكن ما هي قصة هذا العدد العجيب على مَرِّ العصور ؟

في البدء ، لابد أن نتذكر بأن الدائرة موجودة في كل ما حولنا  ، فهي الشمس والقمر  وبؤبؤ العين و العجلة ، ولهذا فإن فهم  الدائرة بشكل أفضل  يعني لنا فهم تكنولوجيا متقدمة لحضارة رائدة.

ففي العصور الغابرة ، وصف أحد الكهنة حمام السباحة بأحد المَصَحَّات قائلاً : (( عُمِلَ بحر دائري ، طول المسافة من الحافة إلى الحافة لها عشرة أذرع ، و ارتفاعها خمسة أذرع ، فيكون طول الخط الذي يدور حوله ثلاثون ذراعاً )) ، و يبدو من هذا الوصف أن القدماء اهتموا بمعرفة قيمة p وقدروها بـ 3 ، و هذه القيمة أقل من الواقع بحوالي 5 %  ، هذا و قد قُدِّرَتْ عَبْرَ العصور وفقاً للجدول التالي :

Person / people	year	Value
Babylonians	~  2000 BC	3 1/8
Egyptians	~  2000 BC	(16/9)^2 = 3.1605
Chinese	~  1200 BC	3
Old testament	~ 550 BC	3
Archimedes	~ 300 BC
Ptolomy	~ 200 AD	377/120 = 3.1466
Chung huing	~  300 AD
Wang fau	263 AD	157/50 = 3.14
Tsu Chung-chi	~500 AD
Aryabhatta	~500	3.1416
Brahmaggupta	~600
Fibonacci	1220	3.141818
Ludolph van ceulen	1596	Calculatesp to 35 decimal places
Machin	1706	100 decimal places
Lambert	1766	Proves that p is irrational
Richter	1855	500 decimal places
Lindeman	1882	Proves that p is transcendental
Ferguson	1947	808 decimal places
Pegasus computer	1957	7840 decimal places
IBM 7090	1961	100000 decimal places
CDC6600	1967	500000 decimal places
Modern computer	1998	200 million  decimal places

و لنا أن نتوقف عند محطتين في الجدول السالف الذِّكْرْ ، و هما التالي :

1) كانت تسيطر على الإغريق فكرة حل المسائل الثلاث الشهيرة ، و هي مضاعفة المكعب ، و تثليث الزاوية – تقسيم الزاوية إلى 3 أجزاء متساوية - ، و تربيع الدائرة ، و فكرة تربيع الدائرة تكمن في رسم مربع على دائرة بحيث تتساوى مساحة المربع بمساحة الدائرة ، فإذا كان طول قطر الدائرة يساوي وحدة الطول ، نستطيع أن نقول بأن مساحة الدائرة هي    p وحدة مربعة واحدة، و هذا يعني أن طول ضلع المربع يساوي  p ، و هنا توقف الإغريق لحل تربيع الدائرة بالفرجار ، و كان رائدهم في ذلك المجال هو عملاق دراسات الرياضيات و الطبيعة القديمة أرخميدس ، فكيف كان ذلك ؟

في الواقع ، إن محاولات حل هذه المسألة تملأ سجلات تاريخ الرياضيات منذ أيام فيثاغورث . و كان أرخميدس أول من عرف أن الصعوبة تكمن في التعريف . فعندما نتحدث عن مساحة المثلث ، فإننا نستطيع تعريف مصطلحاتنا و تحديدها بدقة . و نفس الشيء بالنسبة لبقية المضلعات . و لكن ماذا نعني بالمساحة المحدودة بمنحنى؟

صحيح أننا نستطيع أن نحددها بأضلاع و أشكال متعددة من الأضلاع المنتظمة من الداخل ، و الخارج ، و لكن المساحة نفسها لا يمكن تعريفها بدون إيجاد عمليات و حدود تقارب ال مالانهاية ، إن لم تكن هي ال مالانهاية نفسها.

 و هكذا أصبحت مسألة تربيع الدائرة بُعْبُع الرياضيات ، و إيجاد قيمة p النسبية غاية تتطلع لها عقول و قلوب ذوي العقول الراجحة في الرياضيات ، و هذا ما نلاحظه من الجدول من الفترة الزمنية التالية لزمن أرخميدس ،و الذي أصبح الكل يتبارى من أجل الوصول إلى التعبير الدقيق لقيمة  p لدرجة قال فيها الفلكي الأمريكي سيمون نيوكومب مؤكداً فائدة إيجاد قيمة  p : (( تكفي عشرة أرقام عشرية لإيجاد محيط الكرة الأرضية إلى كسر من البوصة ، و ثلاثون رقماً عشرياً تعطي محيط العالم المرئي جميعه إلى مقدار لا يمكن تصويره بأقوى تيليسكوب )) ، و هذا ما قد يقود إلى اكتشاف نوع من الانتظام في تتابع الأرقام العشرية قد يساعدنا على معرفة طبيعة العدد  p .

و هكذا بدأت البشرية تحصد التقدم في إيجاد عدد الأرقام العشرية لقيمة  p وفقاً للجدول . و هنا لا يفوتنا أن نذكر بأن آخر النتائج عام 1998 قد أكدت أن أحد الكمبيوترات الحديثة قد توصل إلى إيجاد قيمة  p مقربة لأقرب 200 مليون منزلة عشرية .

2) شهد العام  1766م تغيير مسار المسألة ، و ذلك بالإطاحة بفكرة تربيع الدائرة – الحلم الذي لم يتحقق – من الأساس . و ذلك بعد أن أثبت دي لامبرت أن  p ليس عدداً نسبياً ، و هذا ما كبح النشاط المحموم لإيجاد قيمة p بالدقة المطلوبة ، و هكذا باءت جهود ألفي عام من التعب و الشقاء بالفشل ، و أحلام الباحثين عن مقعد لدى صفوة ذوي العقول و المجد قد أصبحت هباءاً منثورا، لا سيما و أنه سحق – و لم ينفِ – بهذا القيمة التي وجدها فرانسوا فيتي و التي تقول :

و القيمة التي توصل إليها جون ويلس و هي :

و كذلك أويلر في معادلته المشهورة :

لتحسم بذلك مسألة تربيع الدائرة و تتقدم إلى الوجود فكرة الترف ، بإثبات التقدم التكنولوجي بإيجاد قيمةp  مقربة لأكبر قدر ممكن من المنازل العشرية ، و ما زالت القصة مستمرة في مجالها التكنولوجي ، فهل من نهاية ؟ والله أعلم

   وللتعرف على القيمة هندسياً اضغــط هنــــــــا