السؤال الأول :   

يتألف هذا السؤال من عشر فقرات من نوع الاختيار من متعدد , يلي كل فقرة منها أربع إجابات واحدة منها فقط صحيحة .

1) إذا كانت نهـــــــــــــا ق(2 س +1) = 5 ، ق(3) = 4 ، فإن نهـــــــــــــا (3 ق²(س) –2س +1)

                س ← 1                                                     س ← 3

    تساوي :

    أ) 25                    ب) 43                   ج) 70                       د) 74

                                                            2

2) إذا كان ق(س) = | 3 – 2 س | ، فإن ق^/ ( ـــــ ) تساوي :

                                                            3

    أ) –2                        ب) صفر                        ج) 1                               د) 2

                    1 – حتا2س      

3) نهـــــــــــــا ــــــــــــــــــــــــ  تساوي :

  س ← 0     س حا س  

    أ) –2                       ب) 2                            ج) صفر                           د) غير موجودة

                                                     ق(س) – ق(3)      

4) إذا كان ق(س) = س³ ،  نهـــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــ  تساوي :

                                  س ← 1        س – 3  

    أ) صفر                    ب) 3                            ج) 13                             د) 27

                                                                      د ص

5) إذا كانت ص = ق(س² + 2س) ، ق^/(3) = 5 فإن ـــــــــــ عندما س = 1 تساوي :

                                                                      د س 

    أ) 4                      ب) 5                             ج) 8                               د) 20

6) يتحرك جسيم على خط مستقيم بحيث أن بعده عن نقطة الأصل بالأمتار بعد ن ثانية يُعطى وفقاً للاقتران ف(ن) =3ن²+ 7 ،

    ما سرعة الجسيم بعد 3 ثواني ؟

 أ) 18م/ث               ب) 34م/ث                     ج) 6م/ث                          د) 22م/ث

                             1

7)  إذا كان ق(س) = ــــــ  ، س ≠ صفر ، هـ(س) = 2س² – 1 ، فإن قيمة (ق o هـ)^/(1) تساوي :

                          س

 أ) 1                     ب) 4                             ج)    –1                              د)  –4

8) إذا كانت النقطة (2 ، 3) نقطة انعطاف لمنحنى الاقتران ق(س) ، وكانت ق^/(2) = 1 ، ق^/(3) = –1 فجد قياس زاوية الانعطاف :

   أ)     – ¼p                ب)  ¼p                         ج) ¾p                             د) p

9)  إذا كان ق اقتراناً معرفاً على [0 ، 3]، وكان ق^/(1) = صفر ، ق^//(1)= –3 ، ق(1)= –2، فإن مقدار القيمة العظمى المحلية للاقتران ق هي:

   أ)  –2                     ب)  –3                          ج) صفر                             د) 1

10) إذا كان ق(س) = 3 س – س³ معرّفاً على [–1 ، 2] ، فجد قيمة جـ التي تحصل عليها من تطبيق نظرية رول على الاقتران ق في [–1 ، 2] .

   أ) –1                    ب) صفر                         ج) 1                                 د) 2

السؤال الثاني :

       اقتراناً متصلاً على ح . فجد قيمة كل من أ ، ب .

 ج) إذا كان ل(س)= (س – أ). ق(س)، حيث ق(س) اقتراناً متصلاً عند س = أ ، استخدم تعريف المشتقة في إثبات أن ق(أ)= ل^/( أ ) ، حيث أ ثابت.

السؤال الثالث :

                              ل(س) + 8 س

 ب) إذا كان ق(س) = ـــــــــــــــــــــــــــ ، هـ(س) ≠ صفر، وكان لمنحنى كل من ل(س) ، هـ(س) مماس أفقي عند النقطة (1 ، 4)، فما قيمة ق^/(1).

                                  هـ(س)

 ج) إذا كان ق ، هـ اقترانيين متصلين على [ أ ، ب ] ، وكان ق( أ ) > هـ( أ ) ، هـ(ب) > ق(ب) ،

      فأثبت أنه يوجد على الأقل جـ ' (أ ، ب) بحيث أن ق(جـ) = هـ(جـ) .

السؤال الرابع :

  أ) إذا كان ق(س) = س . هـ(س) ، هـ(س) اقتراناً قابلاً للاشتقاق ، فجد :

    1.  ق^/ (س)

   2.  ق^// (س)

   3.  ق^/// (س)

   4.  ق^(ن)(س)  ( المشتقة النونية للاقتران ق(س) )

                                    د ن                    د س                 2 p

 ب) إذا كانت س = حا ن ،  ــــــــ = 8  ،  فجد  ـــــــــ  عندما ن = ــــــــ

                                    د م                     د م                    3

 ج) مصعدان كهربائيان أ، ب مستقران في الطابق الأرضي من عمارة ، والمسافة الأفقية بينهما (8) متر ، بدأ المصعد (أ) يرتفع للأعلى بسرعـة

   2م / ث ، وبعد ثانيتين بدأ المصعد (ب) في الارتفاع للأعلى بسرعة (1م/ث). جد معدل تغيّر المسافة بين المصعدين أ ، ب بعد 2 ثانية من بدء

    حركة المصعد ب .

السؤال الخامس :

                                                        د ص   

  أ) إذا كانت س ص² – ص س² = 2 فجد ـــــــــــ عند النقطة (1 ، 2) .  

                                                        د س

 ب) ارسم منحنى تقريبياً متصلاً للاقتران ص= ق(س)، إذا علمت أن ق(2)= صفر ، ق^// (س) < 0 عندما س < 2 ، ق^// (س) > 0 عندما س > 2 ،

      ق^/ (س) < 0

 ج) إذا كان ق(س) = | س + 1 |  – | س – 1 | فأجب عما يأتي :

     1.  ق^/₊ (– 1)

    2.  ق^/_–(– 1)

    3.  حدد فيما إذا كان هذا الاقتران قابلاً للاشتقاق عند س = –1 أم لا ؟  

السؤال السادس :

  أ) إذا كان ق(س) اقتراناً متصلاً على مجموعة الأعداد الحقيقية ح ، وكانت المشتقة الأولى للاقتران ق(س) هي ق^/(س) = 6س – 3س2 ،

     فجد ما يلي :

    1. النقط الحرجة للاقتران ق .

    2. مجالات التناقص للاقتران ق .  

    3. مجالات التقعر للأعلى للاقتران ق .

                                                 م 

  ب) إذا كان الاقتران ق(س) = س + ــــ، حيث م عدد ثابت ، وكان هذا الاقتران يحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة على [1 ، 2] ، إذا علمت أن

                                                 ن

                        1

       ق^/ (س₁) = ـــ حيث س₁ ' ( 1 ، 2 ) هو العدد الذي تعنيه النظرية ، فجد قيمة م .

                       2 

ج) إذا كانت النقطة جـ (أ ، ب) تقع في الربع الأول من المستوى الديكارتي . فجد معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة جـ (أ ، ب) ويصنع مع

    المحورين الموجبين السيني والصادي ونقطة الأصل مثلثاً مساحته أقل ما يمكن .