الجذور التكعيبية للواحد الصحيح
المعادلة: أ س2 + ب س + حـ = 0 ، أ ، ب ، حـ أعداد حسابية ، أ ≠ 0 لها جذران هما: الأمثلــة التماريــن
ــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــ
– ب + /\ ب2 – 4 أ حـ – ب – /\ ب2 – 4 أ حـ
س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ , س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
2 أ 2 أ
فإذا كان لدينا المعادلة ع3 = 1 فيكون الحل كالآتي: ع3 – 1 = 0 ، بالتحليل كفرق بين مكعبين ( ع – 1)( ع2+ ع + 1 ) = 0
ومنها: ع = 1 أو ع2+ ع + 1 = 0 نستخدم القانون أعلاه حيث أ = 1 ، ب = 1 ، حـ = 1
ــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــ
– 1 + /\1 – 4×1×1 – 1 – /\1 – 4×1×1
ع = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ , ع = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
2 × 1 2 × 1
ــــــــ ــــــــ
– 1 + /\–3 – 1 – /\–3
ع = ــــــــــــــــــــــــــــــ , ع = ـــــــــــــــــــــــــــ
2 2
ــــ ــــ
– 1 + /\3 ت – 1 – /\3
ع = ــــــــــــــــــــــــــــ = ω , ع = ــــــــــــــــــــــ = ωـ2 أو العكس بأن نضع ωـ2 للجذر الأول و ω للجذر الثاني
2 2
وعليه تكون الجذور التكعيبية للواحد الصحيح هي: 1 و ω و ωـ2 الأول حقيقي والآخران تخيليان.
وتتصف بالخواص الآتية حيث يسهل برهنتها بالتعويض المباشر
(1) مجموعها = صفر 1 + ω + ωـ2= صفر ومنها أي جذرين يساوي سالب الثالث ، أيضاً: ل + لω + لωـ2= صفر
(2) حصل ضربها = 1 1 × ωـ2 × ωـ= 1 أي ωـ3= 1
هذه الخاصية تقودنا إلى أن: ωـك = ωـل حيث ل باقي قسمة ك على 3 فمثلاً ωـ26= ωـ2
ــــ ــــ
(3) الفرق بين الجذرين التخيليين يساوي ± /\3 ت أي أن: ± ( ωـ2– ω) = ـ± /\3 ت
(4) مربع أحد الجذرين التخيليين يساوي الآخر أي: ( ωـ2)2 = ωـ4= ω والآخر واضح
1 1
(5) ـــــــ = ωـ2 ، ـــــــــ = ω لأن ωـ3= 1 التي تحل في البسط بدل 1
ω ωـ2
ــــــ ــــــ
– 1 /\ 3 –1 – /\ 3
(6) يمكن كتابة الجذور بالصورة الديكارتية (1 ، 0) ، ( ـــــــ ، ـــــــــــ ) ، ( ـــــــ ، ــــــــــــــ )
2 2 2 2
ويمكن وضعها على الصورة القطبية بالصورة الآتية:
نعلم أن س = 1 ، ص = 0 بالنسبة للجذر الأول
ــــــــــــــــــــــــ
ومنها ل = /\ س2 + ص2 = 1 ، حتاهـ = س ÷ ل = س، حاهـ = ص ÷ ل = ص أي هـ = 0ه وصورته القطبية ( 1 ، 0ه )
بالمثل:
ـــــ
–1 /\ 3 1 3
نعلم أن س = ـــــ ، ص = ـــــــــــ بالنسبة للجذر الثاني " الزاوية في الربع الثاني" س2 + ص2 = ــــ + ــــ = 1
2 2 4 4
ــــــــــــــــــــــ
ومنها ل = /\ س2+ ص2= 1، حتاهـ = س ÷ ل= س، حاهـ = ص ÷ ل= ص أي هـ =120ه=2ط /3 وصورته القطبية (1 ،2ط/3)
بالمثل:
ـــــ
–1 – /\3 1 3
نعلم أن س = ــــــ ، ص = ـــــــــــــــ بالنسبة للجذر الثالث " الزاوية في الربع الثالث " س2 + ص2 = ــــ + ــــ = 1
2 2 4 4
ـــــــــــــــــــــ
ومنها ل = /\ س2+ ص2=1، حتاهـ = س÷ل= س، حاهـ = ص÷ل= ص أي هـ =240ه=4ط ÷3 وصورته القطبية (1 ،4ط/3)
هذه الخواص تلعب دور أساسي في حل المسائل ويجب التركيز عليها وخاصة رقم 3 التي يتجاهلها البعض.