الغايــات
الدوال النسبية(لا تحوي جذور)
غاية الدالة النسبية الأكثر انتشاراً وخاصة التي يكون فيها التعويض المباشر صفر ÷ صفر وتعتمد في إيجاد الغاية على التحليل والحذف والتعويض في صورته العامة والتحليل يأخذ صورة أبسط عنه في المرحلة الإعدادية ويعود السبب لمعرفة أعد العوامل أو نماء العقل عنه في المرحلة الإعدادية ولنبدأ على بركة الله
عندما نقول أن س تؤول أو تقترب من عدد ما وليكن 3 مثلاً ، فان كان التعويض يعطي صفر ÷ صفر فهذا يعني وجود العامل س ـ 3 في كل من البسط والمقام وهذا يبسط عملية التحليل أو يعطي لمن لا يعرف التحليل إجراء القسمة المطولة لكل من البسط والمقام على س ـ 3 ومن لا يجيد الاثنين عليه وضع س = 3 + و فإن و تؤول للصفر عند س = 3 ونعوض عن س بـ 3 + و أي أن لدينا 3 طرق لإيجاد غاية دالة نسبية تعويضها المباشر صفر ÷ صفر وبالطبع هناك حل رابع غير مقبول ولكنه يصلح لتحقيق الجواب وهو إجراء المشتقة لكل من البسط والمقام ويلخص ذلك في:
1) التحليل
2) القسمة المطولة
3) وضع س = أ + و حيث أ ما تؤول إليه س
4) الاشتقاق (يراجع وهو ليس بحل فيما أعرف)
مثال (1) أوجد:
س2 + 5 س − 6
غـــــــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
س ← 1 س2 − 1
الحـــل:
بالتعويض المباشر
البسط 1 + 5 − 6 = صفر كما ذكرنا من قبل س − 1 عامل من عوامل البسط
المقام = 1 – 1 = صفر كذلك س − 1 عامل من عوامل المقام
البسط = (س − 1) ( ... + ....) من السهل معرفة حدي القوس الثاني وهما س ، 6
البسط = (س − 1) ( س + 6) أو بتحليل المقدار الثلاثي ، العددان − 1، + 6 حيث حاصل ضربهم − 6 وحاصل جمعهم + 5
المقام = (س – 1) (س + 1) كفرق بين مربعين أو بالأسلوب السابق ذكره مع البسط
أصبح الآن واضح من أين جاء الناتج صفر ÷ صفر بالطبع من وجود س – 1 في كل من البسط والمقام وهذه جاءت من س تؤول إلى 1
ومن الممكن تسمية الكسر بـ د(س) وعلى ذلك نقول:
س2 + 5 س − 6
د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 − 1
(س − 1) ( س + 6)
د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ بالاختصار نحصل على:
(س − 1) ( س + 1)
س + 6
د(س) = ـــــــــــــــــــــ
س + 1
1 + 6 7
غـــــــــــــــــا د(س) = ـــــــــــــــ = ـــــ
س ← 1 1 + 1 2
س2 + 5 س − 6
د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 − 1
الآن لنضع س = 1 + و
حيث عندما س ← 1 فإن و ← 0
البسط = (1 + و)2+ 5(1 + و) − 6( 1+ و) = 1 + 2و + و2 + 5 + 5و − 6و − 6 = و2 + 7و = و( و + 7)
المقام = (1 + و)2 − 1 = 1 + 2و + و2 − 1 = و2+ 2و = و( و + 2)
وعلى ذلك يكون:
و( و + 7) و + 7 7
غـــــــــــــــــا د(س) = غـــــــــــــــــا د(س) = ـــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــ = ـــــــ و ← 0 وليس و = 0 لذا أمكن حذف و
س ← 1 و ← 0 و( و + 2) و + 2 2
س2 + 5 س − 6
د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 − 1
لمن يعرف المشتقة فإن:
مشتقة البسط = 2 س + 5
مشتقة المقام = 2 س
س2 + 5 س − 6 2 س + 5 2 + 5 7
غـــــــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = غـــــــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ = ـــــ
س ← 1 س2 − 1 س ← 1 2 س 2 2
بالتعويض المباشر الآن نحصل على 7 للبسط ، 2 للمقام فنحصل على الناتج 7 ÷ 2 وهذا يؤكد صحة الحل السابق
كما ذكرنا يمكن استخدام القسمة المطولة لكل من البسط والمقام على س − 1
مثال (2) أوجد:
5س − 25
غـــــــــــــــــا ــــــــــــــــــــ
س ← 2 3س − 9
الحــل:
5س − 25 5س لـو5 − 0
غـــــــــــــــــا ــــــــــــــــــــ = غـــــــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــ باشتقاق البسط والمقام - قاعدة أوبيتال -
س ← 2 3س − 9 س ← 2 3س لـو3 − 0
25لـو5
= ـــــــــــــــــــ بالتعويض عن س = 2
9لـو3
تمرين
س2 − 5 س + 6
غـــــــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
س ← 2 س2 − 4