الغايــات
دوال كثيرات الحدود
نتيجة غاية دالة ما يجب أن ينتمي إلى ح مجموعة الأعداد الحقيقية كأمر مقبول أو قيمة غير معرفة (∞) وصورتها ل ÷ صفر حيث ل ' ح ، ل ¹ 0 ونقول أن الغاية غير موجودة أي قيمتها لا تنتمي إلى ح أو قيمة غير معينة صفر ÷ صفر ويجب هنا تحديدها كما سيأتي علماً بأن س ' ح في الأمثلة والتمارين المذكورة.
مثال (1) أوجد غــــــــــــــــــا (3س + 2)
س ← 2
الحل:
غــــــــــــــــــا (3س + 2)= 3 × 2 + 2 = 6 + 2 = 8 ' ح " التعويض المباشر عن قيمة س = 2 "
س ← 2
( 2س – 5 ، س > 3
مثال (2) أوجد غــــــــــــــــــا د(س) حيث د(س) =
س ← 6 ( س2 + 1 ، س < 3
الحل:
الدالة هنا معرفة بقاعدتين فالقاعدة الأولى تختص بقيم س التي تزيد عن 3 والتي تهمنا في الحل هنا لأن س لدينا تقترب من 6 في حين القاعدة الثانية تختص بقيم س التي تقل عن 3 ولا علاقة لنا بها لكوننا نريد الغاية بالقرب من 6 وعليه يكون تعويضنا في القاعدة الأولى عن قيمة س = 6 أي :
غــــــــــــــــــا ( 2س – 5 )= 2 × 6 – 5 = 12 – 5 = 7 ' ح " التعويض المباشر عن قيمة س = 6 "
س ← 2
تنبيه1: إذا كان المطلوب بأن س تؤول إلى 2 مثلاً فالتعويض يكون في القاعدة الثانية لآن قيم س < 3
تنبيه2: إذا كانت س تؤول إلى 3 فهل نعوض في الأولى أم الثانية ؟ سنشرح ذلك ضمن مثال 4 التالي
س + 2
مثال (3) أوجد غــــــــــــــــــا ـــــــــــــــــــ
س ← 6 س – 6
الحل:
بالتعويض المباشر عن قيمة س = 6 نجد أن:
س + 2 6 + 2 8
غــــــــــــــــــا ـــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ = ـــــــ = ∞
س ← 6 س – 6 6 – 6 0
نعلم أن ∞ لا تنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية ح أي أن الغاية غير موجودة
تنبيه: يصح القول بأن الغاية غير معرفة
مثال (4) أوجد غــــــــــــــــــا | س + 2 |
س ← –2
الحل:
نحن هنا بصدد دالة المقياس التي يجب إعادة تعريفها (استبدال المقياس بدوال جبرية) وبالطبع سنبحث عن القيمة التي تجعل س + 2 = صفر والسؤال لماذا الصفر؟ لأنه الفاصل بين الموجب والسالب على خط الأعداد يعني الأكبر من الصفر يعطى دالة مخالفة في الإشارة عن الأقل من الصفر وهو اصل تعريف المقياس وليس هنا محله.
س + 2 = 0 أي س = –2 ولنوضح ذلك على خط الأعداد
+ ( س + 2 ) – ( س + 2 )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ.ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
–2
س > –2 يؤدي إلى | س + 2 | = + ( س + 2 ) ، اختيار الموجب(+) أما من تعريف إشارة د(س) = أ س + ب أو خذ أي قيمة اكبر من –2 وعوض في س + 2 وضع إشارة الناتج.
س < –2 يؤدي إلى | س + 2 | = – ( س + 2 )، اختيار السالب (–) أما من تعريف إشارة د(س) = أ س + ب أو خذ أي قيمة اصغر من –2 وعوض في س + 2 وضع إشارة الناتج.
س = –2 يؤدي إلى |س + 2| = صفر، يمكن وضع علامة التساوي مع > أو < ويفضلها البعض مع > بالقول أن الصفر يلحق بالأعداد الموجبة .
هنا الغاية في حالات ثلاث:
1) س > –2 : نأخذ د(س) = س + 2 ونكمل الحل
2) س < –2 : نأخذ د(س) = – س – 2 ونكمل الحل
3) س = – 2 نبحث الغاية من اليمين أي د(س) = س + 2 ومن اليسار أي د(س) = – س – 2 أي نوجد كل من:
غـــــــــــــــــــــا | س + 2 | ، غـــــــــــــــــــــا | س + 2 | وإشارة + فوق 2 تعني من اليمين، – من اليسار.
س ← –2+ س ← –2–
توضيح:
نحن الآن بصدد –2 فهي وجه المقارنة للأكبر والأصغر ولذلك وجدت الغاية اليمنى والغاية اليسرى فالغاية اليمنى تبحث للأعداد التي تقع على يمين –2 والحال مثله مع اليسرى ببحث الغاية عن الأعداد يسار –2 ونعطى إشارة + فوق –2 جهة اليسار للدلالة على اليمين ، – للدلالة على اليسار وتكون الغاية موجودة إذا كان ناتج الغاية اليمنى و اليسرى متساويتين والغاية عند –2 هو هذا الناتج ونكتب التعريف للدالة بدون المقياس بالصورة:
( + (س + 2) ، س ≥ –2
د(س) =
( – (س + 2) ، س < –2
وتكون كل من الغاية اليمنى و اليسرى بالصورة
غـــــــــــــــــــــا | س + 2 | = غـــــــــــــــــــــا ( س + 2 ) = –2 + 2 = 0' ح
س ← –2+ س ← –2+
غـــــــــــــــــــــا | س + 2 | = غـــــــــــــــــــــا – ( س + 2 ) = – (–2 + 2) = 0' ح
س ← –2– س ← –2–
وواضح أن الناتج صفر للغاية اليمنى والغاية اليسرى أي أنَّ
غـــــــــــــــــــــا | س + 2 | = غـــــــــــــــــــــا | س + 2 | = صفر وعليه يكون:
س ← –2+ س ← –2–
غــــــــــــــــــا | س + 2 | = صفر
س ← –2
على ما سبق لإيجاد غاية نعوض مباشرة عن قيمة ما تؤول إليه س فالناتج
1) قيمة حقيقية أي الناتج ينتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية فالغاية موجودة
2) الناتج مالا نهاية (عدد ÷ صفر) فالقيمة غير معرفة أي لا تنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية والغاية غير موجودة
3) الناتج صفر ÷ صفر وهذا محله الدرس التالي