مثال 1
مطلوب
تحليل المقدار المقدار س10 + س5 + 1
من
الواضح هذا المقدار لا يخضع لأي مما نعرفه عنه التحليل، ولكن إذا تأملنا فيه جيداً
لتبين لنا واضع السؤال أما وضعه ضمن قاعدة معينة أو اختار مقداران جبريان أو ثلاثة
وأعطانا ناتج الضرب كمسألة، فإذا عدنا للمقدار فهو ثلاثي الحدود أس الحد الأول ضعف
أس الحد الثاني فيمكن وضعه على الصورة ص2 + ص + 1 بكون ص = س5 ولكن لا يوجد
عددان حاصل ضربهما +1 ومجموعهما 1 وأن وجدّا قد تظهر مشكلة أخرى ، نقول لماذا لا
نستغل فرق مكعبين على أساس ناتجه يحوي مقدار ثلاثي أي نضع المقدار بالصورة (س5
- 1)(س10 + س5 +1)
على أساس أنه من الأصل (س5)3 - 1 أي
المقدار = (س5 -
1)( س10
+
س5 +
1) ÷ (س5 - 1)
=[(س5)3
- 1] ÷ (س5 -
1)
=[(س3)5 - 1] ÷ (س5 - 1) لتكون مثل المقام س5
- 1
س5 - 1 يمكن تحليله لأن س = 1 تجعل
قيمته = صفر فيقبل القسمة عل س -1 ويكون
س5 - 1 = (س - 1)(س4 + س3
+
س2 + س + 1) وبالمثل يكون
(س5)3 -
1 = (س3 - 1)( س12 + س9
+ س6
+ س3
+
1) لاحظ أسس القوس جاءت من القوس الأزرق × 3
المقدار = (س3 - 1)( س12 +
س9 + س6 +
س3 + 1) ÷ (س - 1)(س4 +
س3 + س2 +
س + 1) وباختصار س - 1
=
(س2 + س + 1)(س12 + س9 + س6 + س3 + 1) ÷ (س4 + س3
+
س2 + س + 1)
=
(س2 + س + 1)(س8 -
س7 + س5 - س4 +
س3 - س + 1) باستخدام القسمة المطولة
للقوسين باللون الأزرق