التفاضـل

القسم التاسع2

 أمثلة على المشتقة الأولى للدوال غير الجبرية

مثال(1) :

    _{أوجد المشتقة الأولى للدالة ص = هـ}^{(2 س + 3)}  _{بالنسبة إلى س}

الحل :

    المشتقة الأولى للدالة الأسية هذه = نفس الدالة × مشتقة الأس

    _{ص¯ = هـ}^{(2 س + 3)}  _{× 2}

    _{ص¯ =2هـ}^{(2 س + 3)}

مثال(2) :

    _{إذا كانت د(س) = هـ}^{حتا س}  _{فأوجد  د¯(س)}

الحل :

    _{د¯(س)  = هـ}^{حتا س}  _{× – حاس}

    _{د¯(س)  = – حاس هـ}^{حتا س}

مثال(3) :

    إذا كانت ص = 7 ^4س  فأوجد  ص¯

الحل :

    باستخدام القاعدة يكون

     ص¯ = 7 ^4س × 4 × لـو_هـ7

     ص¯ =4 × 7 ^4س  لـو_هـ7

يمكن أخذ اللوغاريتم للطرفين ومن ثم الاشتقاق

مثال(4) :

    _{إذا كانت هـ}^{(3 س – ص)} _{= 2 س فأوجد  ص¯  ،  س ¹ 0}

الحل :

    بالاشتقاق نحصل على

    _هـ^{(3 س – ص)} _{× ( 3 – ص¯ ) = 2}

    2 س × ( 3 – ص¯ ) = 2

     س × ( 3 – ص¯ ) = 1

     3 – ص¯ = س^–1

    ص¯  = 3 – س^–1

   ص¯  = (3 س – 1) ÷ س

مثال(5) :

    إذا كانت ص = لـو_هـ(2 س + 3 ) فأوجد قيمة  ص¯  ، س < – 1.5

الحل :

    حيث أن مشتقة لوغاريتم دالة هو كسر مقامه الدالة وبسطه مشتقتها فإن :

    ص¯ = 2 ÷ (2 س + 3)  

مثال(6) :

    أوجد قيمة د¯(43) حيث د(س) = لـو₁₀س²  ، س ¹ 0

الحل :

    اللوغاريتم هنا للأساس 10 وأن لـو₁₀هـ = لـو₁₀ 2.718 = 0.4343وبالتالي تكون المشتقة لهذا الأساس (10) تختلف عن الأساس هـ بالضرب في 0.4343 وعليه يكون :

    د¯(س) = 0.4343 × 2 س ÷ س² 

    د¯(س) = 0.4343 × 2 ÷ س 

    د¯(43) = 0.4343 × 2 ÷43 

    د¯(43) = 0.0202

مثال(7) :

    أوجد المشتقة الأولى للدالة ص = لـو_أ(3س)

الحل :

    ص¯ = لـو_أهـ × ( 3 ÷ 3س )

    ص¯ = (لـو_أهـ) ÷ س

    ص¯ = س^–1(لـو_أهـ)

 مثال(8) :

    إذا كانت د(س) = لـو_هـحتا⁴(2س)   فأوجد  د¯( 22.5 ^ه) ، س ' [ 0 ، ط/4 [

الحل :

   د¯(س) = 4 حتا³(2س) × ( – حا2س) × 2 ÷ حتا⁴(2س)

  د¯(س) = – 8 حا2س ÷ حتا(2س)

 د¯(س) = – 8 طا2س

 د¯( 22.5 ^ه) = – 8 طا45 ^ه

 د¯( 22.5 ^ه) = – 8

 مثال(9) :

    إذا كانت د(س) = لـو_هـ[( س – 1)( س – 2) ÷ 3 س²] فأوجد د¯(س) ، س <2

الحل :

    دالة لوغاريتمي بفضل تطبيق قواعدها فيكون :

     د(س) = لـو_هـ( س – 1) +  لـو_هـ( س – 2) –  لـو_هـ3  –  لـو_هـ س²

    د(س) = لـو_هـ( س – 1) +  لـو_هـ( س – 2) –  لـو_هـ3  – 2 لـو_هـ س

  د¯(س) = 1 ÷ (س – 1) + 1 ÷ (س – 2) – صفر – 2 ÷ س

  د¯(س) = 1 ÷ (س – 1) + 1 ÷ (س – 2) – 2 ÷ س

مثال(10) :

    أوجد المشتقة الأولى للدالة ص = ( 2 – س )^3س

الحل :

    لـو_هـص = لـو_هـ( 2 – س )^3س

    لـو_هـص = 3 س  لـو_هـ( 2 – س )

   ص¯ ÷ ص  = 3 س × – 1 ÷ ( 2 – س ) + 3 لـو_هـ( 2 – س )

   ص¯ = ص [–3 س ÷ ( 2 – س ) + 3 لـو_هـ( 2 – س )]

   ص¯ = ( 2 – س )^3س  [–3 س ÷ ( 2 – س ) +  لـو_هـ( 2 – س ⁾³]

تمارين :

أوجد المشتقة الأولى لكل من الدوال الآتية كلاً معرف في مجاله :

(1) ص = س^{(1 ÷ س)}

(2) د(س) = س لـو_هـ(س ص)

(3) ص = لـو_هـ(1 + س)⁴

(4) د(س) = ( س لـو_هـ س)^س 

(5) ص = (س)^حاس

(6) ص = (حاس)^طاس