التفاضـل

القسم الحادي عشر

المشتقات المتتالية

    المشتقة الأولى للدالة ص = د(س) هي ص¯ دالة أيضاً في المتغير س كقولنا ص = 2 س⁴ فإنَّ ص¯ = 8 س³ وهي دالة في س أيضاً فيمكن إيجاد مشتقتها الثانية كما سبق عند إيجاد المشتقة الأولى فالناتج يكون هو المشتقة الثانية للدالة ص بالنسبة إلى س والتي يرمز لها بالرمز ص^// أو د^//(س) ويمكن تكرار ذلك للمشتقة الثالثة والرابعة فيكون ص^// = 24 س² ، ص^/// = 48 س ، ...

المشتقة النونية لبعض الدوال :

(1) الدالة ( أ س + ب )^ن :

    المشتقة الأولى = أ ن ( أ س + ب )^ن-1

    المشتقة الثانية = أ²ن(ن – 1) ( أ س + ب )^ن-2

    المشتقة الثالثة = أ³ن(ن – 1) (ن – 2)( أ س + ب )^ن-3

    المشتقة النونية = أ^ن ن(ن –1)(ن –2)(ن –3).... [ن – (ن –1)](أ س+ ب)^{ن- ن}

    المشتقة النونية = أ^ن ن(ن –1)(ن –2)(ن –3).... × 1

    المشتقة النونية = أ^ن ن!

    بوضع أ = 1 ، ب = 0 يكون

    المشتقة النونية = ن!

مثلاً المشتقة الرابعة للدالة د(س) = س⁴ هي 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

(2) الدالة  ( أ س + ب )^–1

    المشتقة الأولى = أ × – 1( أ س + ب)^–2

    المشتقة الثانية = أ² – 1 × – 2( أ س + ب)^–3

    وهكذا ...

    المشتقة النونية = _أ^ن ×(– 1)(– 2)(– 3) ... (–  ن) (أ س + ب)^{–(ن + 1)}

   المشتقة النونية =  (– 1)^ن _أ^ن ن! (أ س + ب)^{–(ن + 1)}

(3) الدالة حا(أ س + ب)

    المشتقة الأولى = أ حتا(أ س + ب) = أ حا(أ س + ب + ط/2)

    المشتقة الثانية = أ × أ حتا(أ س + ب + ط/2) = أ² حا(أ س + ب + 2ط/2)

    المشتقة الثالثة = أ² × أ حتا(أ س + ب + 2ط/2) = أ³ حا(أس + ب + 3ط/2)

وهكذا ...

    المشتقة النونية = أ^ن حا(أس + ب + ن ط/2)

في حالة أ = 1 ، ب = 0 يكون

    المشتقة النونية = حا( س + ن ط /2)

(4) الدالة حتا(أ س + ب)

    المشتقة الأولى = – أ حا(أ س + ب)

    المشتقة الأولى = أ حتا(أ س + ب + ط/2)

    المشتقة الثانية = – أ × أ حا(أ س + ب + ط/2)

    المشتقة الثانية = أ² حتا(أ س + ب + 2ط/2) بالمثل يكون

    المشتقة الثالثة = أ³ حتا(أ س + ب + 3ط/2)

    وهكذا ...

    المشتقة النونية = _أ^ن حتا(أ س + ب + ن ط/2)

في حالة أ = 1 ، ب = 0 يكون

    المشتقة النونية = حتا( س + ن ط/2)

(5) الدالة أ هـ^{ب س}

    المشتقة الأولى = أ ب هـ^{ب س}

    المشتقة الثانية = أ ب² هـ^{ب س}

    المشتقة الثالثة = أ ب³ هـ^{ب س}

    وهكذا ...

    المشتقة النونية = أ ب^ن هـ^{ب س}

    في حالة أ = ب = 1 يكون

    المشتقة النونية = هـ^س

(6) الدالة لـو_هـ (أ س + ب)

    المشتقة الأولى = أ ( أ س + ب )^–1

    المشتقة الثانية = (–1) أ² ( أ س + ب )^–2

    المشتقة الثالثة = (–1) × (–2) أ³ ( أ س + ب )^–3

    وهكذا ...

    المشتقة النونية = (–1) × (–2) ×–1) ... ×[–(ن–1)] × ( أ س + ب )^{– ن}

    المشتقة النونية = (–1)^{ن - 1} _أ^ن (ن – 1)! × ( أ س + ب )^{– ن}

    في حالة أ = 1 ، ب = 0 يكون

    المشتقة النونية = (–1)^{ن - 1}(ن – 1)! × س^{– ن}

تنطبق الطرق السابقة على أي دالة أخرى بما في ذلك الدوال الضمنية أو الدوال كحاصل ضرب دالتين

مثال : أوجد المشتقة الثانية ص^// من المعادلة س² + ص² = 9

الحل :

    2 س + 2 ص ص^/ = 0

    ص^/ = – س ÷ ص

    ص^// = – ( ص × 1 – س ص^/ ) ÷ س²

    ص^// = – [ ص × 1 – س × (– س ÷ ص) ] ÷ ص² 

    ص^// = – ( ص²+ س² ) ÷ ص² 

    ص^// = – 9÷ ص² 

مثال آخر: إذا كانت ص = أ حتا(لو س) + ب حا(لوس) فأثبت أن: س² ص^// + س ص^/ + ص = 0

الحل :

     ص = أ حتا(لو س) + ب حا(لوس)  .................... (1)

    ص^/ = – أ حا(لوس) × 1/س + ب حتا(لوس) × 1/س     بالضرب × س

    س ص^/ = – أ حا(لوس) + ب حتا(لوس)   بالاشتقاق

    س ص^// + ص^/ = – أ حتا(لوس) × 1/س – ب حا(لوس) × 1/س  بالضرب × س

    س² ص^// + س ص^/ = – أ حتا(لوس) – ب حا(لوس)  ............... (2)

بجمع (1) ، (2) يكون :

 س² ص^// + س ص^/ + ص = 0

مثال ثالث: إذا كانت س² + ص² = 1 فأثبت أن: 1 + ص^// ص³ = 0

الحل:

س² + ص² = 1    بالاشتقاق

2س + 2ص ص^/ = 0  بالقسمة على 2

س + ص ص^/ = 0    ← (1)

ص^/ = − س ÷ ص ومنها

ص^/2 = س² ÷ ص² ← (2)

من (1) والاشتقاق

1 + ص ص^// + ص^/ص^/ = 0

1 + ص ص^// + ص^/2= 0     وبالتعويض من (2)

1 + ص ص^// + (س²÷ ص² ) = 0  بالضرب في ص²

ص² + ص³ص^// + س² = 0    ومن نص المسألة س² + ص² = 1

1 + ص^// ص³ = 0

مثال :إذا كانت ص = هـ^{- س} حا2س فإن ص^// = 5 هـ^{- س} حا(2 س - 126.87)

الحل :    

    بتطبيق القانون أعلاه نجد أن :

    المشتقة الثانية = (1 + 4 ) هـ^{- س} حا(2 س + 2 طا^-1(–2))

    المشتقة الثانية = 5 هـ^{- س} حا(2 س + 2 × 63.433)

     المشتقة الثانية = 5 هـ^{- س} حا(2 س + 126.87)

تمرين1 : أوجد المشتقة الرابعة للدالة ص = هـ^-2س حتا(2 س + 3)

تمرين2 : أوجد المشتقة النونية للدالة د(س) = لـو_هـ[(2 + 3 س) ÷ (2 – 3 س)]

تمرين3 : إذا كانت ص²= حا2س  فأثبت أنَّ :  ص^// + (ص^/)²+ 2 ص² =  صفر

تمرين4 : إذا كانت د(س) = ب هـ^3س حتا(⅔ س + د) فما قيمة د^//(س) – 6 د^/(س) +(85 ص ÷ 9)    ( الجواب صفر )

تمرين5 : إذا كانت ص = ( ب + د س)هـ^–4س فما قيمة ص^// + 8 ص^/ + 16 ص                           ( الجواب صفر )