الاتصــــال3

الاتصال في فترة   Continuity in Intervals

    نعلم أن الفترة هي مجموعة من الأعداد التي تنتمي إلى ح مجموعة الأعداد الحقيقة ونختلف في الانتماء لطرفيها فهناك الفترة المغلقة والمفتوحة ونصف المغلقة أو نصف المفتوحة ونصف المستقيم فنكتب الفترة المغلقة بالصورة [ أ ، ب ] والمفتوحة بالصورة ] أ ، ب [ ونصف المغلقة أو نصف المفتوحة بالصورة [ أ ، ب [ أو ] أ ، ب ] ونصف المستقيم [ أ ، ∞ [ أو ] – ∞ ، أ [

أولاً :ـ

الاتصال في الفترة المفتوحة ]أ ، ب[ لدالة ما يوجب اتصالها عند كل نقاط الفترة مع ملاحظ أن أ ، ب لا تنتميان للفترة ] أ ، ب [

الاتصال في الفترة [ أ ، ب ] لدالة ما يوجب تحقق

1)     اتصالها في ] أ ، ب [

2)     اتصالها عن يمين أ

3)     اتصالها عن يسار ب

ضرورة بحث الاتصال عند النقط التي يتغير بجوارها تعريف الدالة والتي تنتمي للفترة ] أ ، ب [ من اليمين واليسار

ثانياً :ـ

توجد دوال عموماً تكون متصلة في مجالها ومنها

1)     الدالة الثابتة د(س) = ك حيث ك ثابت

2)     الدالة د(س) = س  ، س تنتمي إلى ح

3)     دالة المقياس د(س) = |س|

4)     دوال كثيرات الحدود

5)     الدالة الجذرية مع مراعاة دليل الجذر كونه فردياً(لجميع قيم ح) أو زوجياً(ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة لعدم قبولنا بالجذر السالب هنا)

ثالثا:ـ

بفرض أن د(س) ، ق(س) دوال متصلة في فترتين تقاطعهم الفترة ف فإن

1) (د + ق)(س) متصلة في ف وتعمم لأكثر من دالتين

2) (د – ق)(س) متصلة في ف وتعمم لأكثر من دالتين

3)  (د . ق)( س) متصلة في ف وتعمم لأكثر من دالتين

4) (د÷ ق)(س) متصلة في ف – {مجموعة أصفار المقام}، الدالة النسبية متصلة لجميع قيم س عدا تلك التي تجعل المقام = 0

أمثلة مباشرة :ـ

الدالة د(س) = 7 متصلة في ح لأنها دالة ثابتة

الدالة د(س) = س³ +3س²– 7 متصلة في ح لكونها كثيرة حدود

الدالة د(س) = |س ـ 3| متصلة في ح لكل س تنتمي إلى ح

               ــــــــــــــــــ

ق(س) = /\(س ـ 2) متصلة في [2 ، ∞ [

ق(س) = ( س + 5) ÷ ( س – 2) متصلة في ح – {2}

                      ــــــــــــــــ

ق(س) = 5 ÷ /\(س – 3) متصلة في ]3 ، ∞ [  لاحظ 3 لا تنتمي للفترة والدالة ليست معرفة عندها

              ــــــــــــــ                   ـــــــــــــ  

د(س) = /\س – 5 ، ق(س) = /\7 – س  فالدالة د(س) متصلة في [5 ، ∞ [ والدالة ق(س) متصلة في ] –7 ، ∞ [ فإن

أ‌) مجموع الدالتين والفرق بينهم وحاصل ضربهم كل منها متصل في فترة تقاطعهم [5 ، 7]

ب‌) قسمة الدالتين (د ÷ ق)(س) متصلة في [5 ، 7[ لاحظ س = 7 تجعل الدالة غير معرفة

ت‌) قسمة الدالتين (ق ÷ د)(س) متصلة في ]5 ، 7] لاحظ س = 5 تجعل الدالة غير معرفة

            س²– 2 س + 6

د(س) = ــــــــــــــــــــــــــــــــ  متصلة في ح – [ –1 ، 1 [  البسط والمقام كثيرا حدود ، –1، 1 أصفار المقام

                  س² – 1

مثال : أبحث اتصال الدالة الآتية في الفترة [ –3 ، 7 ]

               (  س² + 2       ، س < 2

د(س) =

               ( 5 س – 4       ، س ≥ 2

الحــل:

          لاحظ العدد 2 ينتمي للفترة [–3 ، 7] فلذا نبحث الاتصال في [–3 ، 2[ ، ]2 ، 7] ، وعند س = 2

          في الفترة [–3 ، 2[ : د(س) = س² + 2 الدالة متصلة لأنها كثيرة حدود

          في الفترة ]2 ، 7] :  د(س) = 5س – 4  الدالة متصلة لأنها كثيرة حدود

عند س = 2

          د(2) = 5 × 2 – 4 = 10 – 4 = 6

غــــــــــــــــــا ( 5 س – 4 ) = 5 × 2 – 4 = 10 – 4 = 6

 س ← 2⁺

غــــــــــــــــــا ( س² + 2) = 4 + 2 = 6

 س ← 3^–

الغاية اليمنى تساوي الغاية اليسرى تساوي 6 = د(2)

الدالة متصلة عند س = 2

الدالة متصلة في الفترة [–3 ، 7]

 مثال : أبحث اتصال الدالة الآتية في ح

               (      3           ، س ≤ – 2

د(س) =     (  س² – 2       ،  – 2 < س < 4

               ( 3 س + 2     ، س ≥ 4

الحــل:

          نبحث الاتصال في كل من : ] – ∞ ، – 2[ ، ] – 2 ، 4[ ، ]4 ،  ∞[ ، س = – 2 ، س = 4

          في الفترة ] – ∞ ، – 2[ الدالة ثابتة فهي متصلة

          في الفترة ] – 2 ، 4[ الدالة كثيرة حدود فهي متصلة 

          في الفترة ]4 ، ∞[ الدالة كثيرة حدود فهي متصلة 

عند س = – 2

د(– 2) = 3

غــــــــــــــــــا د(س) = 4 – 2 = 2 ¹ د(–2)    الدالة غير متصلة عند س = –2

 س ←–2⁺

عند س = 4

د(4) = 3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14

غــــــــــــــــــا د(س) = 3× 4 + 2 = 12 + 2 = 14 = د(4)    الدالة متصلة من يمين س = 4

 س ←4⁺

غــــــــــــــــــا د(س) = 16 – 2 = 14 = د(4)    الدالة متصلة من يسار س = 4

 س ←4^–

الدالة متصلة عند س = 4

الدالة متصلة في ح – {2}